H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

) функсийасы мювжуддур.  

     Мисал  6.  Хятти  обйектин  тянлийи  ашаьыдакы  вязиййят  модели  шяклиндя 

верилмишдир:  

дх/дт=Ах+Бу,   y=Cx, 

.

1

0

0

0

0

1

,

1

0

2

2

0

1

,

2

1

0

10

2

0

0

0

5

.

0

































































C

B

A

 

 

Кейфиййят  эюстярижиляри  гапалы  системин  характеристик  тянлийинин 

кюкляринин с – кюкляр мцстявисиндя нежя пайланмасындан асылыдыр.  

 

Кюкляри  арзу  олунан  гайдада  сечмяк  цчцн  иdаrяни  у=-Кх  шяклиндя 

гябул  едяк.  Тянзимляйижинин  К=(к

иj

),  и,j=1,2,  эцжляндирмя  ямсалыны  еля 

сечмяк  лазымдыр  ки,  гапалы  системин  Д=А-БКC  характеристик  матрисинин 

мяхсуси  ядядляривя  йа  дет(сI-D)=0  характеристик  тянлийинин  с

и

,  и=1,3,  кюкляри 

арзу олунан гиймятляря, мясялян с=[-5, -3, -1] бярабяр олсун. -4



К



4 мювге 

мящдудиййяти  мювжуддур.  Бу  мясяля  чохкритерили  (цч  критерии)  олуб  йухарыда 

эюстярилян «мягсядя чатма» мясялясиня уйьундур.  

 

Бу мясяляни щялл етмяк цчцн еиэфун адлы М – файл йарадаг: 

фунcтион Ф=еиэфун (К, А, Б,C) 

Ф=сорт (еиэ (А+Б*К*C)); 

 

Бурада  еиэ(



)  матрисин  мяхсуси  яжядлярини  (  yəni  D  xarakteristik 

matrisin  məxsusi  s

i

  ədədləri)  щесаблайыр,  сорт(



)  функсийасы  ися  онлары  артан 

истигамятдя низамлайыр (мягсядя [-5, -3, -1]  уйьун олараг).  

 

Шякил 6-да щяллин МАТЛАБ программы вя нятижя эюстярилмишдир.  

     

 

 

402 

 

 

 

 

Шякил 6 

 

 

403 

 

 

Алынмыш  нятиcя верилянляря чох да йахын  дейил  s*=[-6.9313, -4.1588,  -

1.4099].    Бу  сябябдян  щялли  йахшылашдырмаг  лазымдыр.  Yaxşılaşdırmadan 

sonra  чох  дягиг  нятися  алынмышдыр  вя  аттаинфактор    =



=

.

e

3480

.

4

021





 

Эюстярилян мисалы эоалдемо (



) функсийасынын кюмяйи иля дя щялл етмяк 

мцмкцндцр.  

 

1.7.Чохкритерили оптималлашдырма  (векторная оптимизация) 

 

     Еля щаллар мювжуддур ки, системин ишинин кейфиййяти бир критерии иля дейил, ейни 

гцввяли  бир  нечя  критерии  иля  характеризя  олунур.  Бу  вектор  Ф(х)=[F

1

(x), 

F

2

(x),…, F

n

(x)] мягсяд функсийалы оптималлашдырма мясялясиня эятирир: 

n

x

R

x

x

F



),

(

min

. 

.

,

0

)

(

,

0

)

(

M

m

j

i

x

x

x

x

g

x

g









 

     Мялумдур  ки,  бу  мясялянин  щялли  Парето  чохлуьунда  йахшылашдырыла 

билмяйян нюгтянин тапылмасына эятирилир.  

     Вектор  оптимизасийа  мясялясини  щялл  етмяк  цчцн 



-  мящдудиййят  вя  йа 

яввялдя бахылан «мягсядячатма» цсулундан истифадя етмяк олар: 







x

R

x

,

,

min

,







. 

.

,...,

1

,

)

(

*

1

m

i

F

w

x

F

i

i









 

w

i

  –  щяр  щансы  бир  йолла  сечилмиш  чяки  ямсаллары; 

*

i

F

-  верилмиш  мягсядляр 

(бурада ядядляр шяклиндя). 

 

1.8. Минимакс мясяляси 

Мясялянин рийази йазылышы: 

 





,

)

(

max

min

x

F

i

F

x

i

 

Ах



б, 

А

ег

х=б

ег

, 

C(х)



0, 

C

ег

(х)=0. 

х

м



х



х

М

. 

     Щяллин МАТЛАБ функсийасы фминимах(



). 

     Мисал  7.    Ашаьыда  эюстярилян  вя  5  сайда 

5

,

1

i

),

x

(

F

i



,  функсийалар 

йыьымындан ибарят систем цчцн минимах мясялясини щялл едяк: 

 

404 

 

.

8

)

(

,

)

(

,

18

3

)

(

,

3

)

(

,

304

40

48

2

)

(

2

1

5

2

1

4

2

1

3

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

1



































x

x

x

F

x

x

x

F

x

x

x

F

x

x

x

F

x

x

x

x

x

F

 

     Мясяляни  щялл  етмяк  цчцн  бу  функсийалары  М  –  файлда  тягдим  етмяк 

лазымдыр.  

     Шякил  7-дя  щяллин  МАТЛАБ  програмы  вя  х

0

=(0.1,  0.1)

Т

    башланьыж 

гиймятиndə optimal həll эюстярилмишдир.  

 

Шякил 7. 

 

 

Эюрцндцйц  кими,  оптимал  гиймятляр  х

опт

=(4.0    4.0)

Т

  функсийаларын 

гиймяти, Ф=[-0.0   -64.0   -2.0   -8.0   0.0]

T

. 

 

Бахылан  оптималлашдырма  мясялялярини  щялл  едя  билмяк  цчцн 

МАТЛАБда мцяййян анлайышлара вя вярдишляря малик олмаг лазымдыр.  

 

1.9. Бинар (дискрет) програмлашдырма 

 

405 

 

 

 

     Мясялянин рийази йазылышы: 

eq

eq

T

x

b

x

A

b

Ax

x

f





,

,

min

 

х

и

 дяйишянляри 1 вя йа 0 гиймятляри ала биляр – йяни Бул дяйишянляридир. 

     Щяллин МАТЛАБ функсийасы: 

[x, fval]=bintrog (f,A,b,A

eq

,b

 eq

). 

     Мисал 9. Критери: F(х)=-9х

1

-5х

2

-6х

3

-4х

5

. 

     Мящдудиййятляр системи: 6х

1

+3х

2

+5х

3

+2х

4



9 

                                                     х

3

+х

4



1 

                                                     -х

1

+х

3



0 

                                                     -х

2

+х

4



0. 

     МАТЛАБ програмынын скрипти вя щялл ашаьыда эюстярилмишдир: 

f=[-9; -5; -6; -4]; 

A=[6 3 5 2; 0 0 1 1; -1 0 1 0; 0 -1 0 1]; 

b=[9; 1; 0; 0]; 

[x, fval]=bintproq(f,A,b) 

Optimization terminated successfully. 

x= 

 

1 

1 

0 

0 

fval= -14. 

 

2.Назначение и возможности пакета  

Optimization Toolbox 

 

Пакет  оптимизации  (

Optimization  Toolbox

)  –  это  библиотека 

функций,  расширяющих  возможности  системы  MATLAB  по  численным 

вычислениям  и  предназначенная  для  решения  задач  оптимизации  и 

систем  нелинейных  уравнений.  Поддерживает  основные  методы 

оптимизации функций ряда переменных: 



 

Безусловная оптимизация нелинейных функций. 



 

Метод наименьших квадратов. 



 

Решение нелинейных уравнений. 



 

Линейное программирование. 



 

Квадратичное программирование. 

 

406 

 



 

Условная минимизация нелинейных функций. 



 

Методы минимакса. 



 

Многокритериальная оптимизация. 

Рассматриваемый пакет дает возможности решать задачи 

минимизации функций, нахождения решений уравнений, задачи 

аппроксимации («подгонки» кривых под экспериментальные данные). 

Различные  типы  таких  задач  вместе  с  применяемыми  для  их 

решения  функциями  пакета 

Optimization  Toolbox

  приведены  в 

таблице 1. 

 

Таблица 1 - Типы задач, решаемых средствами пакета 

Optimization Toolbox

 

Тип задачи 

Математическая запись 

Функция 

MATLAB 

Задачи минимизации 

Скалярная 

(одномерная) 

минимизация 

 

2

1

,

min

a

a

a

a

f

a





 

fminbnd

 

Безусловная 

минимизация (без 

ограничений) 

 

x

f

x

min

 

fminunc,  

fminsearch 

Линейное 

программирование 

x

x

T

f

min

  

при условиях 

 

A x 



  b, Aeq x = beq,  

x

L 

 



 x 



 x

U 

 

linprog 

Квадратичное 

программирование 

x

f

Hx

x

x

T

T



2

1

min

 

при 

условиях

 

 A·x 



  b, Aeq·x = beq,  

x

L 

 



 x 



 x

U

,  

quadprog 

Минимизация при 

наличии ограничений 

x

x

T

f

min

 

при условиях

  

с(x) 



  0, сeq(x) =  0,   

A·x 



  b, Aeq·x = beq,  

x

L 

 



 x 



 x

U

, 

fmincon 

Достижение цели 



γ

,

min

x

  

при условиях

 

F(x) –wγ  



  goal,  

с(x) 



  0, сeq(x) =  0,   

A·x 



  b, Aeq·x = beq,  

x

L 

 



 x 



 x

U

,  

fgoalattain 

 

407 

 

Минимакс 

)}

(

{

max

min

)}

(

{

x

x

x

i

F

F

i

 

при условиях

  

с(x) 



 0, сeq(x) =  0,   

A·x 



  b, Aeq·x = beq,  

x

L 

 



 x 



 x

U

, 

fminimax 

Полубесконечная 

минимизация 

x

x

T

f

min

 

при условиях

  

K(x,w) 



 0  для всех w, 

 с(x) 



 0, сeq(x) =  0,   

A·x 



  b, Aeq·x = beq,  

x

L 

 



 x 



 x

U

, 

fseminf 

Нахождение решений уравнений 

Линейные уравнения 

C(x) 



 d , 

n 

уравнений, 

n

 

переменных

 

\ (оператор 

левого 

деления, 

slash

)

 

Нелинейное 

уравнение одной 

переменной 

f(a) = 0 

fzero

 

Нелинейные 

уравнения многих 

переменных 

F(x) = 0

, 

n

 уравнений, 

n

 

переменных

 

fsolve 

Задачи аппроксимации («подгонки» кривых) 

Линейный метод 

наименьших 

квадратов (МНК) 

2

2

x

min

d

x

C





, m уравнений, n 

переменных 

\ (оператор 

левого 

деления, 

backslash

)

 

Неотрицательный 

линейный МНК 

2

2

x

min

d

x

C





, 

при условии

 x ≥ 

0 

lsqnonneg 

Линейный МНК при 

наличии ограничений 

2

2

x

min

d

x

C





, 

при условиях

  

A·x 



  b, Aeq·x = beq, x

L 

 



 x 



 

x

U

,  

lsqlin 

Нелинейный МНК 

 

 





i

i

f

2

2

2

2

1

2

1

min

x

x

F

x

, 

при 

условии

  

x

L 

 



 x 



 x

U

, 

lsqnonlin 

Нелинейная 

«подгонка» кривой 





2

2

x

,

2

1

min

ydata

xdata

x

F



, 

при 

lsqcurvefit 

 

408 

 

условии

  

x

L 

 



 x 



 x

U

, 

Принятые обозначения: 



 

а – скалярный аргумент;  x ,  γ  – в общем случае векторные 

аргументы; 



  f(a),  f(x) – скалярные функции; F(x), с(x), сeq(x), K(x,w) – 

векторные функции; 



  A, Aeq, C, H – матрицы; 



  b, beq, d, f, w, goal, xdata, ydata – векторы; 



  x

L 

 , x

U

, – соответственно, нижняя и верхняя границы области 

изменения аргумента. 

Методы оптимизации описаны в работах [29-33]: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

409 

 

Əlavə 3 

1.Список функций пакета 

 «Statistics Toolbox» 

Оценка параметров закона распределения по 

экспериментальным данным 



 

betafit

 - Оценка параметров бета распределения  



 

binofit

 - Оценка параметров биномиального распределения  



 

nbinfit

 - Оценка параметров отрицательного биномиального  

распределения  



 

expfit

 - Оценка параметров экспоненциального распределения  



 

gamfit

 - Оценка параметров гамма распределения  



 

normfit

 - Оценка параметров нормального распределения  



 

poissfit

 - Оценка параметров распределения Пуассона  



 

raylfit

 - Оценка параметров распределения Релея  



 

unifit - Оценка параметров равномерного распределения  



 

weibfit - Оценка параметров распределения Вейбулла  



 

mle

 - Расчет функции максимального правдоподобия  

Законы распределения случайных величин 



 

betacdf

 - Бета распределение  



 

binocdf

 - Биномиальное распределение  



 

cdf - Параметризованная функция распределения  



 

chi2cdf

 - Функция распределения хи-квадрат  



 

expcdf

 - Экспоненциальное распределение  



 

ecdf

 - Эмпирическая функция распределения (на основе оценки  

Каплана-Мейера)  



 

fcdf

 - Распределение Фишера  



 

gamcdf - Гамма распределение  



 

geocdf - Геометрическое распределение  



 

hygecdf - Гипергеометрическое распределение  



 

logncdf

 - Логнормальное распределение  



 

nbincdf

 - Отрицательное биномиальное распределение  



 

ncfcdf

 - Смещенное распределение Фишера  



 

nctcdf 

- Смещенное распределение Стьюдента  

 



 

ncx2cdf

 - Cмещенное хи-квадрат распределение  



 

normcdf

 - Нормальное распределение  



 

poisscdf

 - Распределение Пуассона  



 

raylcdf

 - Распределение Релея  



 

tcdf

 - Распределение Стьюдента  



 

unidcdf - Дискретное равномерное распределение  



 

unifcdf - Непрерывное равномерное распределение  



 

weibcdf - Распределение Вейбулла  

Функции плотности распределения случайных величин 



 

betapdf

 - Бета распределение  



 

binopdf

 - Биномиальное распределение  



 

chi2pdf

 - Функция распределения хи-квадрат  



 

exppdf

 - Экспоненциальное распределение  



 

fpdf

 - Распределение Фишера  



 

gampdf

 - Гамма распределение  



 

geopdf

 - Геометрическое распределение  

 

410 

 

