Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

Vektor  anlayışı  və vektorlar üzərində əməllər.

1. Vektor  haqqında  ilkin  anlayış.

2. Vektor bərabərliyi kollonarlığı  komplanarlığı.

3. Vek-ın  toplanması  və  xassələri

4. Vek-ın çıxılması

5. Vek-ın ədədə  vurulması  və  xassələri.

Vektor  əsas  riyazi  kəmiyyət  kimi elmin  bir çox  sahələrində  tətbiq  olunur.

Vektor anlayışından riyaziyyatın bütün sahələrində habelə dəqiqliklə hesablamalar

asanlaşmaq  üçün geniş  tətbiq olunur. Elementlər fizika  kursundan  məlumdur  ki,

bir neçə  fiziki kəmiyyət. Məsələn, lemprador,  zaman parça-ın uzunluğu, sahə,

həcm,  kütlə,  və s.  Skalyar,  bir neçə  digər  kəmiyyət. Məsələn: güc, qüvvə, təcil,

sürət, vektorial kəmiyyət adlanır. Skalyar kəmiyyət bir ədədi qiyməti  ilə, vektorial

kəmiyyət bir ədədi qiyməti ilə, vektorial  kəmiyyət, həm  ədədi, həm də istiqaməti

ilə bütün vektorial  kəmiyyət bir həndəsi vahid olan sıxılmış uzunluğu və

istiqaməti  rəyin olunmaz paranun kəmiyyəti ilə verəcəyin belə ki, parçanın

uzunluğu  vektorial    kəmiyyətin    ədədi    qiymətinə    bərabər    olan,    iqtiqaməti    isə

vektorial  kəmiyyət  istiqaməti ilə  üst-üstə  düşsün. Uzunluğu  və istiqaməti  ilə

təyin  olunan  parçanı vektor adlandıracağıq. Vektor  hesablamaların  əsasını 19 –

cu əsrin ortaların irlandiya,  Kamirtan, Alman  Qrasman qoymuşlar sadə  meal

olaraq  istiqamətlənmiş  düz xətt  parçasını göstərmək olar.

        A                                                              B

A- başlanğıc, B son  nöqtəsi adlanır. Beləliklə vektor  öz başlanğıcından

sonuna yönəlir.

AB

 vektoru belə işarə olunur. Yəni A ilə B birləşdirən istiqamətlik

düz  xətt  parçası  ilə  bir  bəzən

c

,

b

 işarə adlanır. Vektor uzunluğu  dedikdə  düz

xətt  parçasının  uzunluğu  nəzərdə  tutulur. |

AB

| belə işarə olunur.

downloaded from KitabYurdu.org

Tərif:

Həm modulları, həm də istiqaməti eyni olan vektorlara bərəbər vektor

deyilir.

Bərabər  vektorları  belə  də başa  düşmək  olar. İki  vektor o vaxt bərabər

vektor adlanır.

1) vektorlar  uzunluqları  bərbər  olur.

2) Vektorlar  paralel  yəni, onlar 1 düz  xətt və ya  paralel  düz  xətlər üzərində

olsun.

3) Vektor  bir  istiqamətdə olsunlar. İstiqamətliliyi  bu şəkildə də  göstərilir

AB

`

v CD

,

­

AB

­

CD

|

 vektor  cəbrində  o vektorlara da baxılır bu vektorun

uzunluğu  və istiqaməti  olmur,  yəni 0 olur. 0 vektorunun  belə  işarə edirlər:

0

məsələn nöqtələri göstərə bilərik. Bunun sıfır vektoru bərabər vektor

hesab edilir.  Bu  vektorun  başlanğıcı  ilə sonu  üst-üstə  düşür. Ədədlərin

bərabərliyindən  olan iki  xassəsini  vektorlarda tətbiq edə bilərik:

       1)

b

a

=

Þ

a

b

=

       2)

b

a

= ,

c

a

c

b

=

Þ

=

Tərif.

İki vektor uzunluğu  bərabər  istiqaməti  qarşılıqlı  əks  olarsa, belə vektor

qarşılıqlı  əks  vektora  deyilir. Qarşılıqlı  əks vektor birini

a

 ilə işarə  məsələn:

Paraleloqramın iki  tərəfini

DC

AB

v

, AB

DC

¯­

                                 B                                D

                                                                       A                                 C

Qeyd edək ki, vektorun radiusları  onun əməllərindən  üzərindəki nöqtələrə

yönəldilmiş vektor kmi baxsaq bunların bərabər olmayan vektor olduğunu  görmək

olar. Hər  hansı

a

 vektorunu  və ixtiyarı O  nöqtəsinə gəlirik 0-dan uzunluğu  və

işıqlıq

a

 vektoruna eyni  olan  vektor  ayırırıq. Bu  halda

a

 vektor 0 nöqtəsinə

köçürülmüşdür deyirlər.

downloaded from KitabYurdu.org

Əgər  bir  neçə  vektor  bir  nöqtəyə köçürdükdə  bu  vektor bir  düz  xəttin

üzərində  yerləşərsə belə  vektor –

a

 kollenear vektor  deyilir. Əgər

c

b

a ,

,

  vektor

paralel vektor  kimi verilərsə  onda bu vektor  kollenear  vektorlardır.  Qeyd  edək

ki,  qarşılıqlı  əks  vektor  kollenear  vektor  misaldır.

Tərif:

Eyni  bir düz xətt  və paralel  düz  xətlər  üzərində  yerləşən  vektora kollenear

vektor deyilir.

1) 0 vektoru  ixtiyari  vektorla  kolleneardır.

2) Vektor öz – özlüyü  ilə  həmişə  kolleneardır.

3) Vektorlar kolleneardırsa  onda  onlardan  birini  digərindən  hər  hansı

ədədə  vurması  ilə  almaq  olar.

Bəzən  praktikada  vektor toplanması əməlini yerinə  yetirmək zərurəti qarşısına

çıxır. Fərz edək ki,

a

  və

b

  vektoru  verilmişdir.

Bu Vektorların  toplanması

a

b

Qaydası belədir.  Hər  hansı  υ nöqtəsi götürülsün. Bu nöqtədən

a

 vektorunu

onun  ucundan  isə

b

vektorunu  ayırırıq 0 nöqtəsini

b

 vektorunun  son  üç

nöqtəsi  ilə  birləşdirən vektor

a

 və

b

 vektorlarının cəmi  deyilir.  Vektorların

toplanmasının  bu  qaydasına  üçbucaq  qaydası  deyilir. Vektor  toplanmasının

üçbucaq qaydası ilə bərabər onunla eynigüclü olan  paraleloqram  qaydasından

da  sitifadə olunur.

b

Paraleloqramın qaydası.

              0

b

a

+

Hər iki  vektor 0  nöqtəsinə köçürülür.  Bu  vektorlar üzərində  paralel

qurulur. Bu paraleloqramın  nöqtəsindən  axan  diaqonalı  üzrə  yerləşən  vektor

a

  və

b

- ın  cəmi olur.

Vektor toplanması  aşağıdakı  xassə  var:

1) a

b

+ =

a

b

+

   ( kommutativlik,  yerdəyişmə)

2) a + (

c

b

a

c

b

+

+

=

+

)

(

)

   (assosiativlik, qruplaşırlar)

downloaded from KitabYurdu.org

3) a +

a

=

0

a

4) a + a =0,

a

a

-

=

1

     0

b

Tərif:

İki

a

  və

b

 vektorlarının  fərqi  elə 3-cü

x

 vektoruna deyilir ki,  onu

b

 ilə

topladıqda

a

 vektoru alınsın İki

a

 və

b

 vektorları  ortaq başlanğıca  gətirilibsə

onların fərqi,  çıxılanın (

)

in

b

-

sonundan  azalanın  sonuna  (

-

a

ın) yönəlmiş

vektordur.

Tərif:

a

 vektorunun 2 ədədin hasili |

a

| vektorun  modulu ilə 2 ədədinin modulu

deyilir. Yəni

2

2

=

× a

a

×

  Ümumiyyətlə  vektor ədədə  vurduqda vektor  alınır.

Yəni

a

b

×

= 2

  burada  aşağıdakı  hal minium

1)

a

> 0 onda

a

 elə b eyni  istiqamət

a v b

2)

a

< 0  olanda əks istiqamətli

b

a

v

3)

1

=

a

 olanda

a

=

b

Vektorunun ədədə  vurulmasının  aşağıdakı  xassələri  vardır:

1) 1

a

a

=

×

2)

a

a

×

×

=

×

)

(

)

(

b

a

b

a

3) (

a

a

a

b

a

b

a

+

=

+ )

4)

b

a

b

a

a

a

a

+

=

+ )

(

downloaded from KitabYurdu.org

                      Vektor fəza  və vektor  alət  fəza

Vektorların xətti asılılığı, vektorların  koordinatları, iki vektor  skalyar hasili.

         Plan

1) Vektor  fəza  və  vektor  alt  fəza

2) Vektorların xətti asılığı  və  xassələri

3) Vektorun  vurulmuş  bazisdə  koordinatlar  və xassələri

4) Orta  normal  bazis

5) İki vektorların skalyar hasili və xassələri

Fərz edək ki,  {υ =

m

y

x

b

a

,

,..

,

} vektorlar bir çoxluğu  verilmişdir. Bu  çoxluğun

elementləri əsasında

:

v

f

υ  x  υ

®

υ,

:

f

υ  x

®

k

υ  777777777 müəyyən oluna

bilər. Yəni ixtiyarı iki  vektorları

b

a

b

a

f

+

=

+

)

,

(

,

(

j

=

)

a

a

<·

a

  Tərif 

3.

Vektorları  çoxluğunun vektor  toplanması  və ədədə  vurulması  əməlləri  təyin

olunubsa və  bu əməllər  aşağıdakı 8 xassəni ödəyirsə  onda υ vektor çoxluğuna

vektor  fəza  deyilir.

1)  a + b – c = a

2)

c

b

a

c

b

a

+

+

=

+

+

)

(

)

(

3)

a

a

=

+ 0

4)

0

1

=

+ a

a

a

a

-

=

-1

5) 1

a

a

=

×

6)

a

a

×

×

=

×

×

)

(

)

(

b

a

b

a

7) (

a

a

a

b

a

b

a

+

=

+ )

8)

ab

a

a

+

=

+

a

b

a

)

(

1-8 xassəsinə vektor fəzanın aksiomları deyilir. Əgər

=

L

{

m

b

a ,

,

} C

J

 L çoxluğu

verel  L  çox  da    əməllər    təyin  olunmuşdursa    və  bu    vektor  fəzanın  xassəni

ödəyirsə  onda L çoxluğuna vektor alt  fəza  deyilir. Xətti  və ya  vektor  fəzada

riyaziyyatın bütün sahələrində istifadə olunur. Fərz edək ki,

J

Î

k

a

a

a

,

,

2

1

vektorlar

k

a

a

a

Î

n

,

,

2

1

 və həqiqi ədədi verilmişdir. S=

)

1

(

2

2

1

1

k

k

m

a

a

a

a

+

+

a

a

cəminə  verilmiş vektorların xətti kombinasiyasi  deyilir.

downloaded from KitabYurdu.org

Tərif:

k

m

a

a

a

2

1

,

  ədədlərindən heç olmasa biri 0-dan fərqli olduqda (1) cəmi 0-a

bərabər olarsa, onda

k

m

a

a

a

2

1

,

 vektor  xətti asılı  olmayan  vektor deyilir. Tərifə

görə

=

=

Þ

=

+

+

2

1

2

1

0

a

a

a

a

n

n

m

a

a

a

.....=0

Tərif:

Xətli vektor  fəzada  xətti asılı olmayan vektorların  maksimal sisteminə fəzanın

bazisi deyilir və B=(

)

,

,

2

1

k

l

m

l

l

 kimi işarə olunur. Bazis vektorunun sayına

fəzanın olausu  deyilir. Xətti  asılı  vı asılı olmayan  vektorun  aşağı  xassə var.

Xassə 1:

n

m

a

a

a

,

,

2

1

vektorlar sisteminin xətti asılılığı  məlumdursa  onda  bu sistemin xətti

asılılığı  məlumdursa  onda  bu sistemin vektorlarından birini qalanları  vasitəsi

ilə  istifadə  etmək olar.

İsbatı:

Vektorial  xətti  asılılığına  görə kombinasiya 0-

a

 bərabərdir.

0

.

1

1

=

+

k

k

n

a

a

a

a

0

2

2

2

1

2

¹

+

×

+

k

a

a

a

Deməli

k

a

a

a

.....

,

2

1

 ədəndən  heç olmasa  1-i 0-dan  fərqlidir. Məs  Fərz edək ki,

.

0

1

¹

a

(*)

0

1

1

=

+

k

k

m

a

a

a

a

 

ərabərliyini aşağıdakı kimi çevirmək

k

a

a

a

a

-

-

-

=

.

2

3

3

2

2

1

1

a

a

k

k

a

a

a

a

1

3

1

3

2

1

2

1

.

a

a

a

a

a

a

-

-

-

=

n

k

m

b

a

a

b

a

a

b

a

a

=

-

=

-

=

-

1

,

,

3

1

3

2

1

2

k

k

m

a

a

a

b

b

+

+

=

2

2

1

  olar.

Xassə 2.

k

m

a

a

a

2

1

 vektorlar sistemi xətti asılı  deyilsə  bu sistemdə

0

 vektor

yoxdur. Yəni  xətli asılı  olmayan  vektor  sisteminə

0

 vektor  daxil deyil.

Xassə 3. İki    vektorun    xətti  asılı    olması    üçün    onları

a

=  A

b

  şəklində

göztərilməsi  zəruri  və kafi  şərtdir.

downloaded from KitabYurdu.org

İsbatı. Zəruri.  Vektorların  xətti  asılılığına  görə

0

=

+ b

a

b

a

b

a

b

a

b

l

l

a

b

a

b

b

a

a

=

=

-

-

=

-

=

,

,

,

0

2

2

¹

+

b

a

Kafilik  fərz edək ki,

b

a

l

=

 göstərilir,

a

  və

b

 vektorunun xətti asılıdır.

.

0

=

+

-

b

a

l

0

1

=

×

+

×

-

b

a

l

0

1

¹

-

Deməli

a

  və

b

  vektorları  xətti asılıdır. Fərz edək ki,

J

 vektor  fəzada  bazis

B=  (

3

2

1

,

,

e

e

e

) kimi  verilmişdir. İxtiyari

a

 vektorunun bazis  vektorları  üzrə

,

v

a

Î

"

-

-

+

-

+

+

+

=

3

3

3

2

1

1

e

a

e

a

e

a

a

  bazis vektoru üzrə  ayrılır.

Tərif:  Vektorun bazis  vektorların  üzrə  ayrılışının  əmsallarına  vektor  həmin

bazisdə  koordinatları  deyilir.

{

}

3

2

1

;

;

a

a

a

a

³

   kimi  şarə olunur.

Bazis vektorun koordinatlarını yazaq

Vektorun koordinatlarının aşağı  xassələri var.

1) Koordinatları  ilə  verilməsi  vektoru topladıqda  və ya  çıxdıqda  onların

uyğun  koordinatları toplanır  və ya çıxılır. Yəni;

)

,

,

(

).

,

,

(

3

2

1

3

2

1

b

b

b

b

a

a

a

a

=

=

)

,

;

(

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

b

a

±

±

±

=

±

  olur.

Xassə 2.

Vektoru ədəd vurduqda  onun koordinatları  həmin ədədə vururlar. Yəni ki,

(

3

2

1

,

,

(

a

a

a

a

a

a

a

a

×

=

×

)

Xassə 3.

Eyni bazisdə verilmiş iki vektorun kollinearlığı üçün  zəruri  və kafi isə onların

uyğun koordinatlarını eyni əmsalla mütənasibdir.

Bazis vektorları cüt-cüt ortoqonal (perpendikulyar) olarsa, onda belə bazis

ortoqonal  bazis deyilir. Bazis vektorları  cüt-cüt ortoqonal olarsa və vahid

).

1

;

0

,

0

(

1

0

0

)

0

,

1

:

0

(

0

1

0

)

0

;

0

;

1

(

0

0

1

3

3

2

1

3

3

2

1

2

1

3

2

1

1

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

q

Þ

×

+

×

+

×

=

Þ

×

+

×

+

×

=

Þ

+

×

+

×

=

downloaded from KitabYurdu.org

uzunluqlu olarsa, onda belə bazisdə ortanormal bazis deyilir və B (

)

,

,

k

j

i

 kimi

işarə olunur. Deməli

k

j

k

i

j

i

^

I

^

,

,

.

1

=

=

=

k

j

i

 ortanormal bazisdən istifadə

edərək  hesablamaları asanlaşdırmaq olur. Fərz edək ki, düzbucaqlı  paraleldə

ortanormal bazis seçilmişdir.

K

.

3

2

1

k

a

OC

j

a

OB

i

a

OA

OK

a

=

=

=

=

     olsun.

     C

 A

   B                                O

1

a

OA

=

2

a

OB

=

OC

K

K

=

,

3

a

OC

=

3

,

a

K

K

=

Üçbucaq

b

OKK

1

-dən

2

1

1

2

2

K

K

OK

OK

+

=

1

OBK

b

 - dən

1

1

BK

OB

OK

+

=

OA

OK

=

1

3

2

2

2

2

1

2

a

a

a

OK

+

+

=

2

2

2

1

2

1

a

a

OK

+

=

2

3

2

2

1

2

2

a

a

a

a

+

+

=

Deməli ordomormol bazislər vektorunun kvadratı onun koordinatının

kvadratları cəminə bərabərdir.

downloaded from KitabYurdu.org