Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

§2.Afin çevrilmənin koordinatlarla ifadəsi.

Müstəvidə

)

,

,

0

(

2

1

e

e

R

=

 afin koordinat sistemi götürək. Onun f afin

çevrilməsi zamanı obrazı

(

)

2

1

,

,

0

e

e

R

¢

¢

¢

=

¢

 

 

 

olsun.

(

)

,

,

0

0

y

x

O

R

¢

(

)

(

)

22

12

2

21

11

1

,

,

,

c

c

e

c

c

e

=

¢

=

¢

                                    olsun.

M

"

  nöqtəsi,

( )

M¢

=

M

f

olar.

M¢

–in

-

¢

R

də  koordinatları

( )

y

x

R

,

=

M¢

¢

 və

M¢

–in R-də koordinatları

(

)

y

x

¢

¢

=

M¢

,

   olsun. Onda koordinat sisteminin çevrilməsinə  əsasən

O

M

O

¢

¢

-dən

(

) (

) ( )

( )

(

)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

R

R

R

R

,

,

,

,

,

0

0

0

0

+

=

+

=

¢

¢

M¢

O¢

+

O¢

O

=

M¢

O

¢

22

21

12

11

c

c

c

c

y

y

c

x

c

y

x

y

c

x

c

x

î

í

ì

+

+

=

¢

+

+

=

¢

0

22

21

0

12

11

Þ

¢

¹

¢

2

1

e

e

l

22

21

12

11

c

c

c

c

= Δ ≠0

Δ≠0  şərti daxilində yuxarıdakı sistem afin çevrilmənin koordinatlarla ifadəsidir.

Göstərmək olar ki, əgər yuxarıdakı sistem və  Δ≠0 şərti verilmişsə belə

çevrilmə afin çevrilmədir. Doğurdan da

(

)

2

1

,

,

E

E

O

=

R

  -nın obrazı belə olar: O(0,0),

downloaded from KitabYurdu.org

( )

( )

1

,

0

,

0

,

1

2

1

E

E

 onda

(

)

(

)

(

)

0

22

0

12

2

0

21

0

11

1

0

0

,

,

,

,

,

y

c

x

c

y

c

x

c

y

x

+

+

E¢

+

+

E¢

O¢

  olar.  Bu

nöqtələr reper müəyyən edir. Doğurdan da

(

)

c

c

O

e

,

,

21

11

1

1

1

=

E¢

=

¢

(

)

22

12

2

2

, c

c

e

=

E¢

O¢

=

¢

vektorları xətti  asılı deyirlər, çünki verilənə görə 

Δ≠0

22

21

12

11

22

12

22

11

0

c

c

c

c

c

c

c

c

¹

Þ

¹

-

Þ

    Deməli  f    çevrilməsi  R-i

R¢

-ə çevirir. Əgər bu

çevrilmənin koordinatlarla ifadəsini yazsaq

(

) (

)

(

)

22

12

2

21

11

1

0

0

,

,

,

,

,

c

c

e

c

c

e

y

x

¢

¢

O¢

 -nı

nəzərə alsaq yuxarıdakı analitik ifadəni alarıq.

Δ>0 (Δ<0) olduqda

(

)

R

R

R

R

¢

¢

v

w

 olur və 1-ci (və ya2-ci) növ afin çevrilmə

alınır.

§3.Müstəvinin afin çevrilmələr qrupu.

Müstəvinin bütün afin çevrilmələri çoxluğunu

{

}

......

,

,

h

g

f

A

=

 ilə işarə edək.

Əvvəlcə göstərək ki, A çoxluğunda əməl təyin etmək olar.

A

f

f

Î

2

1

,

  götürək.

( )

( )

d

d

f

d

d

f

¢¢

=

¢

¢

=

2

1

,

onda

( )

(

)

d

d

f

f

,

1

2

¢¢

=

( )

( )

d

d

d

f

f

¢¢

Î

M ¢¢

¢

Î

M¢

Î

M

M ¢¢

=

M¢

M¢

=

M

a

a

a

a

a

a

a

,

,

,

,

2

1

(

) (

) (

) (

)

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

M ¢¢

M ¢¢

M ¢¢

=

M¢

M¢

M¢

M¢

M¢

M¢

=

M

M

M

.

 

 

 Onda

(

) (

)

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

M ¢¢

M ¢¢

M ¢¢

=

M

M

M

      olar.  Deməli,

A

f

f

Î

1

2

    olur.

A

f

Î

  olduqda

( )

d

d

f

,

¢

=

( )

( )

A

f

f

d

d

f

Î

M

=

M¢

=

¢

-

-

-

1

1

1

,

,

a

a

  olar. Beləliklə A qrup əmələ gətirir.

Bu müstəvinin afin çevrilmələri qrupu adlanır. yuxarıda gördük ki, P-oxşarlıq

çevrilmələri D-hərəkət çevrilmələri çoxluğu A-nın alt çoxluqlarıdır, yəni

A

Ì

A

Ì

R

D

,

. Odur ki, oxşarlıq çevrilmələri qrupu, hərəkət çevrilmələri qrupu,

afin çevrilmələri qrupunun alt qruplarıdır.

1

A

 ( A-1-ci növ afin çevrilmələri qrupu,

( )

-

M

-

M

A

0

0

 nöqtəsini tərpənməz

saxlayan afin çevrilmələri qrupu, mərkəzi-afin çevrilmələr qrupu) A(a)-a düz

xəttini tərpənməz saxlayan afin çevrilmələr qrupu A-nın qruplarıdır.

İndi afin-ekvivalentlik haqqında bəzi nəzəri məlumatları verək.

İndi

1

F

  və

2

F

 fiquru afin və ya A-ekvivalent adlanırlar, əgər

A

Ì

F

  olduqda

( )

2

1

F

F

f

=

  olsun, onda

1

F

  kimi yazılır.

     

Deməli,  afin  ekvivalentlik   ekvivalentlik  münasibətidir.  A

ekvivalentlik haqda aşağıdakı təkliflər vardır.

Teorem1: İki ABCD və

D

C

B

A

¢

¢

¢

¢

   dördbucaqlıya yalnız və yalnız onda A-

ekvivalent olurlar ki,

(

) (

)

E

C

A

E

AC

¢

¢

¢

=

,

,

      və

(

) (

)

E

D

B

E

BD

¢

¢

¢

=

,

,

    olsun. Burada

( ) ( )

(

) (

)

E

D

B

C

A

E

BD

AC

¢

=

¢

¢

=

¢

¢

=

Ç

,

 kimi işarə olunub.

İsbatı:

F

D

C

B

A

ABCD BB

F

¢

=

¢

¢

¢

¢

=

      Onda,  elə

A

Î

f

      var  ki,

( )

F

F

f

¢

=

    və

( )

( )

( )

( )

D

D

f

C

C

f

f

f

¢

=

¢

=

B¢

=

B

A¢

=

A

,

,

,

.    Onda

( ) (

) ( ) (

)

D

B

f

BD

C

A

f

AC

¢

¢

¢

¢

,

odur ki,

( ) ( )

(

) (

)

D

B

C

A

E

f

E

BD

AC

¢

¢

Ç

¢

¢

=

¢

=

Ç

 . Afin çevrilmədə üç nöqtənin nisbəti

dəyişmir, deməli

(

) (

) (

) (

)

E

D

B

E

BD

E

C

A

E

AC

¢

¢

¢

=

¢

¢

¢

=

,

,

,

,

,

 olar.

Tərsinə ABCD və

D

C

B

A

¢

¢

¢

¢

 dördbucaqlılarında

(

) (

)

E

C

A

E

AC

¢

¢

¢

=

,

,

      və

(

) (

)

E

D

B

E

BD

¢

¢

¢

=

,

,

 ödənilir. Elə  f  afin çevrilməsinə baxaq ki,

(

) (

)

C

B

A

C

B

A

f

¢

¢

¢

®

,

,

,

,

:

  olsun.

(

)

(

)

C

B

A

R

C

B

A

R

¢

¢

¢

¢

®

,

,

,

,

   verilənə görə

(

) (

)

E

C

A

E

AC

¢

¢

¢

=

,

,

 yəni,

( ) ( )

( ) (

)

E

B

f

E

E

f

AC

¢

¢

=

BE

¢

=

Î

E

,

,

      və

(

) (

)

E

D

B

E

BD

¢

¢

¢

=

,

,

olduğundan

( )

D

D

f

¢

=

   olur. Yəni

(

)

(

)

D

C

B

A

f

ABCD

¢

¢

¢

¢

downloaded from KitabYurdu.org

Teorem2: İxtiyari iki ellips afin ekvivalentdirlər.

g

  və

g

¢

  iki ellips  olsun.

Böyük oxlar

2

1

A

A

   və

2

1

A¢

A¢

  olsun.

w

  və

w¢

  çevrilmələri

[

]

2

1

A

A

  və

[

]

2

1

A¢

A¢

diametrləri üzərində qurulmuşlar.

1

,

1

2

2

2

2

2

2

2

2

=

¢

¢

+

¢

¢

=

+

b

y

a

x

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

:

,

:

a

y

x

a

y

x

¢

=

¢

+

¢

¢

=

+

w

w

x

x

y

a

b

y

¢

=

=

¢

,

  Afin çevrilməsi ilə

g

w

®

ellipsinə çevirir. Yəni

( )

( )

3

2

2

1

1

,

f

f

f

g

w

g

w

=

¢

=

  oxşarlıq çevrilməsi

w

  çevrəsini

w¢

çevrilməsinə çevirir.  Onda

( )

w

w

¢

=

3

f

  Beləliklə

1

1

3

2

-

=

f

f

f

f

   afin çevrilməsi

g

–nı

g

¢

-ə çevirir. Bu qayda ilə isbat etmək olar ki,

Teorem3: İxtiyari iki hiperbola afin ekvivalentdirlər.

Teorem4: Hər bir afin çevrilmə zamanı iki tərtibli  xətt iki tərtibli xəttə

çevrilir, bu zaman ixtiyari iki eyni tipə mənsub iki tərtibli xəttlər afin

ekvivalentdirlər, müxtəlif tipə mənsub iki tərtibli xəttlər afin ekvivalent deyillər

Doğrudan da 1.2.3.5. 7.9 tiplərə baxaq 1.2.3.5 aydındır.  Fərz edək

g

 əyrisi

iki kəsişən düz  xəttdən ibarətdir.

( ) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

C

B

A

R

C

B

A

R

D

C

B

A

CD

AB

¢

¢

¢

=

¢

=

¢

¢

Ç

¢

¢

¢

Ç

,

,

,

,

,

:

,

:

g

g

        kimi  iki  afin  reper

götürək.

R

R

f

¢

®

:

afin çevrilməsi zamanı

( ) (

) ( ) (

)

C

A

f

AC

B

A

f

AB

C

f

C

B

f

f

¢

¢

¢

¢

¢

¢

B

A¢

A

,

,

,

 .  Həmin qayda ilə

g

    iki

paralel  düz    xətt  olan  hala  və  ya  9  cu  ;

g

    -üst  –üstə  düşən  düz  xətt  olan  hala

baxmaq olar. Eyni tiplər ekvivalentdir.

Müxtəlif  tipə mənsub olan əyrilər qeyri-ekvivalent olduğunu göstərək. Afin

çevrilmə qarşılıqlı-birqiymətli olduğundan,  afin çevrilmə zamanı əyrilərin

-həqiqi nöqtələri həqiqi nöqtələrinə,

-xəyali nöqtələri xəyali nöqtələrinə,

-əyrinin mərkəzləri əyrinin mərkəzlərinə çevrilir.

Həmdə koordinat sistemini əlverişli qaydada seçməklə əyrinin bir reperdəki

tənliyi uyğun reperdə  əyrinin obrazını tənliyi ilə eyni olur ,deməli müxtəlif tipli

əyrilərin xarakteristikaları da müxtəlif olur, yəni afin ekvivalent olmurlar.

§ 5. Həndəsi çevrilmələri məktəb həndəsə məsələlərinə tətbiqləri.

Müstəvi çevrilmələrini həndəsə məsələlərinin həllinə tətbiqi nümunələrinə baxaq.

Məsələ 1. a düz xətti və bu düz xəttin bir hərifində iki A və B nöqtələri verilmişdi.

İsbat etməli ki, bu düz xətt üzərində yeganə

0

M

  nöqtəsi  var  ki,  düz  xəttin  digər

nöqtələri üçün

BM

AM

BM

AM

+

+

p

0

0

 şərtini ödəyir.

Həlli: a düz xəttinə  nəzərən  s simmetriya çevrilməsinə baxaq

( )

( )

( ) ( )

a

M

B

B

A

A

B

B

S

A

A

S

Î

=

Ç

=

=

0

1

1

1

1

,

,

   tələb edilən nöqtə olar. Doğurdan da

( )

B

B

S

=

 olduğu üçün

1

0

1

0

1

0

,

,

B

M

M

B

BM

A

=

   bir düz xətt üzərində olduğundan

AB

B

M

AM

=

+

0

0

    olar.

D

M

M

M

Î

¹

,

0

 olarsa,

1

MB

AM

MB

AM

+

=

+

      alarıq

ΔAM

1

B

-dən

MB

AM

B

M

AM

A

MB

AM

MB

AM

AB

+

+

=

+

=

+

p

p

0

0

1

.

Məsələnin şərtini ödəyən

0

M

   nöqtəsi birdir. Çünki,

(

)

0

1

M

a

AB

=

Ç

  nöqtəsi

yeganədir.

downloaded from KitabYurdu.org

Məsələ2. M  müxtəlif  tərəfli

ABC

D

-nin mediyanlarının kəsişmə nöqtəsidir

H ortosentir

O

-xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzi olarsa

(

)

2

1

M

,

=

OH

  olduğunu

sübut etməli.

Həlli:

1

1

1

,

,

CC

BB

AA

-mediyanlar,

(

) (

) (

)

3

2

1

,

,

CH

BH

AH

 hündürlüklərdir. M –

mediyanların kəsişmə nöqtəsidir.

0

h

–homotetiyası, M mərkəzli və

2

1

-

=

l

əmsallı olarsa

( )

( )

( )

C

h

C

h

A

h

0

1

0

1

0

1

,

,

=

B

=

B

=

A

    odur ki , üçbucağın tərəflərinə

endirilən perpendikulyarlar orta perpendikulyarlara çevrilər, yəni

( )

H

h

0

=

O

    yəni

H

M

-

=

MO

2

1

           olar.  İsbat olundu.

Məsələ 3. Ixtiyari ABCD tirapesiyasında yan tərəflərin S kəsişmə nöqtəsi,

dioqanalların kəsişdiyi M nöqtəsi və oturacaqların

2

1

,

O

O

  orta nöqtələri bir düz

xətt üzərində yerləşir.

Həlli:

(

)

D

C

A

R

,

,

=

 və

(

)

C

D

B

R

,

,

=

¢

 kimi iki afin götürək.

 Bu reperlər

ê

ê

ê

ë

é

¢

®

C

f

D

D

f

C

B

f

A

f

R

R

f

:

,

:

inikasını yaradar. Onda

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

S

f

SS

SM

f

SM

S

BC

AD

BD

AC

BD

f

AC

.

,

,

.

,

=

Ç

M

«

M

=

Ç

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

F

f

F

CD

f

DC

f

BA

f

Þ

E

E

Þ

AB

,

'

 

 

Deməli

 bu,

 çevrilmədə

( )

( )

MS

f

MS

      olar və

( )

MS

F

Î

E,

  olar.

İsbat olundu.

downloaded from KitabYurdu.org

                                     Ellips,hiberbola və parabolanın kanonik

                                tənlikləri, direktrisləri. Hiperbolanın  asimptotları.

Iki tərtibli xətlərin polyar tənlikləri.

     Plan.

1.Ellips,onun kanonik tənliyi və xassələri.

                                     2.Hiperbola, onun kanonik tənliyi və xassələri.

                                     3.Parabola və  onun kanonik tənliyi və xassələri.

                                     4.Hiberbolanın  direktrisləri və direktorial xassə.

                                     5.İki tərtibli əyrilərin polyar tənlikləri .