Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

1. Uchburchaklarning tengligi 
BTB
 alomat bo‘yicha  
qaysi elementlarni solishtirish orqali aniqlanadi?
2.  Uchburchaklar tengligining BTB alomatini izohlang.
3.  3-rasmda 
Δ
ABD
=
Δ
ACD
 ekanligini isbotlang.
4. 4-rasmdagi 
noma’lum 
x
ni toping.
5.  5-rasmda 
AC
  kesma 
BAC
  va 
BCD
  burchaklarning 
bissektrisasi bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
ADC
 ekanligini isbot-
lang.
6. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
AB
=
A
1
B
1
, 
BC
=
B
1
C
1
 
va 
∠
B
=
∠
B
1
 ekanligi ma’lum. 
AB
 va 
A
1
B
1
 tomonlarda 
mos ravishda 
D 
va 
D
1
 nuqtalar 
∠
ACD
=
∠
A
1
C
1
D
1
 
bo‘ladigan qilib olingan. Unda 
Δ
BCD
=
Δ
B
1
C
1
D
1
 
ekanligini isbotlang.
7. 
AB
 va 
CD
 kesmalar 
O
 nuqtada kesishadi. Agar 
BO
=
CO
 va 
∠
ACO
=
∠
DBO
 bo‘lsa, 
ACO
 va 
DBO
 
uchburchaklar teng ekanligini isbotlang.
8. Agar 
ABC
 uchburchakda 
AB
=
AC
, 
BE
 va 
CD
 — 
bissektrisa bo‘lsa, 
BE
=
CD
 ekanligini isbotlang 
(6-rasm).
9. 
Δ
OAC
=
Δ
ODB
 bo‘lishini isbotlang? (7-rasm).
10. 
ABC
 va 
ADC
 uchburchaklar teng. 
B
 va 
D
 nuqtalar 
AC
 
to‘g‘ri chiziqning turli tomonida yotadi. 
ABD
 va 
BCD
 
uchburchaklarni teng yonli ekanligini isbotlang.
11.
 
8-rasmdagi ma’lumotlar asosida 
AC
 va 
BD
 kesma-
larni toping.
Savol, masala va topshiriqlar
6
B
C
D
A
E
7
A
B
C
O
D
8 B
A
C
D
E
2
5
5
C
D
A
B
4
A
C
D
4
x
B
3
B
A
C
D

70
Mashq.
 Yuqoridagi teoremani isbotlashda nima sababdan 
AB
 va 
A
1
B
1
 tomonlar 
eng katta tomonlar bo‘lsin deb olindi?
Uchburchaklar tengligining uchinchi (TTT) alomati
24
Endi uchburchaklarning ucta tomoni bo‘yicha tenlik alomati bilan tanishamiz. 
Kelgusida uni “TTT alomat” deb yuritamiz.
Teorema. 
(Uchburchaklar tengligining TTT alomati). Agar bir uchburchak-
ning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda 
teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
    
Berilgan: 
Δ
ABC
 va 
Δ
A
1
B
1
C
1
;  
AB
 = 
A
1
B
1
, 
AC
 = 
A
1
C
1
, 
BC
 = 
B
1
C
1
.
Δ
ABC
 = 
=
Δ
A
1
B
1
C
1
1
A
1
B
1
C
1
A
B
C
A
1
(A)
B
1
(B)
C
1
C
1 2
3 4
Isbot.
 Aytaylik, 
ABC
 uchburchakning eng katta 
tomoni 
AB
 bo‘lsin. 
ABC
 uchburchakni shunday 
qo‘yamizki, 
AB
 tomon 
A
1
B
1
   
tomon bilan ustma-ust 
tushsin hamda 
C
 va 
C
1
 uchlar 
A
1
B
1
 
to‘g‘ri chiziqning 
turli tomonlarida yotsin. U holda, 
AC
 = 
A
1
C
1
 va 
BC
 = 
=
B
1
C
1
 
bo‘lgani uchun 
A
1
C
1
C
 va 
B
1
C
1
C
 uchburchak-
lar teng yonli bo‘ladi. Teng yonli uchburchak xossa-
siga ko‘ra, 
∠1 = ∠3 va ∠2  = ∠4 bo‘ladi. Shuning 
uchun, 
∠
A
1
CB
1
 = 
∠
A
1
C
1
B
1
 bo‘ladi. 
Demak, 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 
uchburchaklarda:       
AC
 = 
A
1
C
1
, 
BC
 = 
B
1
C
1
 
va 
∠
A
1
CB
1
  = 
∠
A
1
C
1
B
1
. 
Uchburchaklar tengligining TBT alomatiga ko‘ra, 
Δ
ABC
 = 
Δ
A
1
B
1
C
1
. 
Teorema isbotlandi.
Masala.
 2-rasmda berilganlardan 
foydalanib, a) 
Δ
AFD
=
Δ
CEB
; 
b) 
Δ
AEB
=
Δ
CFD
 ekanligini isbotlang.
Isbot:
 2-rasmda berilganlarga ko‘ra 
AE
=
FC
, 
BE
=
FD
 va 
AD
=
BC
. 
a) 
AF
=
AE
+
EF 
bo‘lgani uchun  
EC
=
EF
+ 
+
FC
=
EF
+
AE
=
AF
. Demak, 
Δ
AFD
 va 
Δ
CEB 
A
B
C
D
E
F
2

71
1.  TTT alomatda uchburchaklar tengligi qanday 
elementlar bo‘yicha taqqoslanib aniqlanadi?
2.  Uchburchaklar tengligining TTT alomatini izoh-
lang.
3. 3-rasmda 
berilganlarga 
ko‘ra 
Δ
ABC
=
Δ
CDA
 ekan-
ligini isbotlang.
4. 4-rasmda: a) 
Δ
ABC
=
Δ
ABD
; b) 
Δ
BOC
=
Δ
BOD
;             
c) 
Δ
AOC
=
Δ
AOD
; d)
 AB
⊥
CD
 ekanligini isbotlang.
5. 
ABC
  va 
ABD
 — asoslari 
AB
 bo‘lgan teng yonli 
uchburchaklar bo‘lsa, 
Δ
ACD
=
Δ
BCD
 ekanligini 
isbotlang.
6. Agar 
5-rasmda 
BA
=
AM
, 
AC
=
AN
, 
∠
BAC
=
∠
NAM
 
bo‘lsa, uchlari 
A, B, C, M
 va 
N
 nuqtalarda bo‘lgan 
barcha teng uchburchaklar juftligini aniqlang.
7. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
AB
=
A
1
B
1
 va 
BC
=
B
1
C
1
 bo‘lib, ularning perimetrlari teng bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
A
1
B
1
C
1
 ekanligini ko‘rsating. 
8.* 
AB
 va 
CD
 kesmalar kesishish nuqtasida teng ikkiga 
bo‘linadi. 
Δ
ACD
=
Δ
BDC
 ekanligini isbotlang.
9.  6-rasmda nechta teng uchburchaklar jufti borligini 
aniqlang. 
10*. Agar 7-rasmda: a) 
∠1=∠2, 
AC
=
BD
; b) 
∠1=∠2, 
BO
=
OC
, 
AB
=
CD
 bo‘lsa, 
Δ
ABD
=
Δ
ACD
 ekanligini 
ko‘rsating.
Savol, masala va topshiriqlar
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
O
5
A
B
C
N
M
6
A
B
C
D
O
7
B
C
D
O
1
2
A
ning mos tomonlari o‘zaro teng va uchburchaklar 
tengligining TTT alomatiga ko‘ra 
Δ
AFD
=
Δ
CEB
.
b) 
Δ
AFD
=
Δ
CEB
 bo‘lgani uchun 
∠
BEF
=
∠
EFD
. U 
holda, qo‘shni burchaklar bo‘lgani uchun 
∠
AEB
=
∠
CFD
 
Δ
AEB
 va 
Δ
CFD
 da: 
1. 
AE
=
FC
;
2. 
BE
=
FD
;
3. 
AEB
=
CFD
. 
Demak, uchburchaklar tengligining TBT alomatiga 
ko‘ra, 
Δ
AEB
=
Δ
CFD
 bo‘ladi.

72
Kesma o‘rta perpendikularining xossasi
25
Endi uchburchaklar tenglik alomatlarining teoremalarni 
isbotlashda qo‘llanilishini o‘rganamiz.
AB
 kesma berilgan bo‘lsin. Uning o‘rtasi bo‘lgan 
O
 
nuqtadan 
AB
 kesmaga perpendikular 
a
 to‘g‘ri chiziqni 
o‘tkazamiz  (1-rasm). Bu to‘g‘ri chiziq 
AB
 kesmaning o‘rta 
perpendikulari deb ataladi.
Teorema.
 Kesma o‘rta perpendikularining ixtiyoriy nuqtasi kesma uchlaridan 
teng uzoqlikda joylashgan bo‘ladi.
    AB kesma, C — AB kesma o‘rta perpen-
dikularining ixtiyoriy nuqtasi (2-rasm).
AC
 = 
BC
Isbot.
 ACO va BCO uchburchaklarda:
1. OC — umumiy tomon;
2. 
AO =BO
 — shartga ko‘ra;
3. 
∠
AOC
=
∠
BOC
=90° — shartga ko‘ra.
Demak, uchburchak tengligining 
TBT
 alomatiga ko‘ra 
Δ
AOC
=
Δ
BOC
. Xususan, 
AC
=
BC
. 
Teorema isbotlandi.
2
A
B
a
C
O
1
A
B
O
a
Masala.
 
ABC 
uchburchakning 
BC
 tomoniga tushirilgan o‘rta perpendikular 
AC
 
tomonni 
E
 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 
BE
 = 6 
sm
, 
AC
 = 8,4 
sm
 bo‘lsa, 
AE va CE
 
kesmani toping.
Yechilishi:
 
ABC
 uchburchak 
BC
 tomonning o‘rta per-
pendikulari 
DE
 bo‘lsin (3-rasm). Kesma o‘rta perpendiku-
larining xossasiga ko‘ra, 
CE = BE
 = 6 
sm
.
AE + EC = AC
 bo‘lgani uchun, 
AE = AC – EC
= 8,4 – 6 = 2,4 
sm
. 
Javob:
 
AE
 = 2,4 
sm
, CE = 6 
sm
.
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Kesmaning o‘rta perpendikulari nima?
2.  Kesma o‘rta perpendikularining xossasini izohlang.
3
B
C
E
A
D

73
Amaliy mashg‘ulot
26
Ko‘lning kengligini o‘lchash.
 
Aytaylik, 
A
 va 
B
 nuqtalar ko‘lning 
chetki nuqtalari bo‘lsin (1-rasm). U 
holda rav-shanki, 
AB
 kesmani bevosita 
o‘lchab bo‘lmaydi. Quruqlikda qanday 
yasash ishlarini bajarib bu masofani 
o‘lchash mumkin?
Yechilishi:
 
CA 
va 
CB
 kesmalar 
orqali 
A
 va 
B
 nuqtalarga borib bo‘ladi-
gan 
C 
nuqtani tanlaymiz va ixtiyoriy 
ABC
 uchburchak yasaymiz. 
AC
 va 
BC
 tomonlarni davom ettirib, 
A
1
C
=
AC
 va 
B
1
C
=
BC
 kesmalarni qo‘yamiz. 
A
1
 va 
B
1
 
nuqtalarni tutashtiramiz. Natijada, uchburchaklar tengligining TBT alomatiga ko‘ra 
Δ
ABC
=
Δ
A
1
B
1
C
 bo‘ladi. Xususan, 
AB
=
A
1
B
1
 ekani kelib chiqadi.
Demak, yasalgan 
A
1
B
1
 kesmaning uzunligini o‘lchab, 
AB 
kesmaning ham uzunligini 
topgan bo‘lamiz.
1
3.  Biror uchburchak chizing va uning har bir tomoniga o‘rta perpendikular o‘tkazing. 
Nimani payqadingiz? Chizmangizni sinfdoshingiz chizmasi bilan solishtiring va 
aniqlangan xossani faraz sifatida ifodalang.
4.  Qanday uchburchakda uchburchak tomoniga tushirilgan o‘rta perpendikular shu 
tomonga tushirilgan balandlik bilan ustma-ust tushadi?
5. 
ABC
 uchburchakning 
BC
 tomoniga o‘tkazilgan o‘rta perpendikular 
AC 
tomonni 
D
 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 
BD
 = 7,2 
sm
, 
AD
 = 3,2 
sm
 bo‘lsa, 
AC
 nimaga teng?
6. 
ABC
 va 
ABD
 teng yonli uchburchaklar umumiy 
AB
 asosga ega. 
CD
 to‘gri chiziq 
AB
 kesmaning o‘rta perpendikulari bo‘lishini isbotlang.
7*. 
ABC
 teng yonli uchburchakning 
AB
 tomoniga o‘tkazilgan o‘rta perpendikular 
BC
 
tomonni
 D
 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 
ADC
 uchburchakning perimetri 24 
sm
 ga 
teng va 
AB 
= 16 
sm
 bo‘lsa, 
AC
 asosni toping.
8*. Uchburchakning tomonlariga tushirilgan o‘rta perpendikularlar 
bir nuqtada kesishishini isbotlang.
9. Tengyonli 
ABC
 uchburchakning asosiga tushirilgan 
BF
 
bissektrisasida 
E
 nuqta olingan (4-rasm). 
Δ
ABE 
= 
Δ
CBE
 
tenglikni TTT alomatdan: a) foydalanib; b) foydalanmasdan 
isbotlang. 
4
B
C
A
F
E

74
8
9
10
a)
b)
Uchburchaklar tengligining TTT-alo-matiga 
asoslanib uchburchakning «qattiq (mahkam)» 
shakl ekanligini asoslash.
Ikki yog‘och taxtacha (reyka)larning uchlarini 
bir-biriga 8-rasmda ko‘rsatilgandek qilib mix bilan 
birlashtiramiz. Hosil bo‘lgan shakl mahkam bo‘lmaydi, 
chunki uning erkin uchlarini turli tomonga burib, 
tomonlari orasidagi burchakni istalgancha o‘zgar-  
tirish mumkin.
Endi bu reykalarning erkin uchlariga uchinchi 
reykani 9-rasmda ko‘rsatilgandek qilib, mix bilan 
qoqib, birlashtiramiz. Hosil bo‘lgan uchburchak 
mahkam shakl bo‘ladi. Chunki har qancha urinmang 
uning tomonlarini burib, burchaklarini o‘zgartira 
olmaysiz.
1. Bu tasdiqning to‘g‘riligi qaysi teoremadan kelib 
chiqadi?
2. Uchburchakning mahkam shakl ekanligidan 
turmushda qayerlarda foydalanishini 10-rasm orqali 
sharhlang.   
10
a)
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Uchburchak – «mahkam shakl», deganda nimani 
tushunasiz?
2.  Uchburchakning mahkamligi qaysi teorema yor-
damida izohlandi?
3.  Uchburchakning mahkamligi qayerlarda qo‘l-
lanadi?
4. 
AB
 = 
A
1
B
1
, 
BC 
= 
B
1
C
1
, 
CA 
= 
C
1
A
1
 ekanligi ma’lum. 
ABC
 va 
A
1
C
1
B
1
 uchburchaklarda 
∠
A
= 30°, 
∠
B
= 60° va 
∠
C
1
= 90°. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uch-
burchaklar qolgan burchaklarini toping.
5. 
ABC
 va 
DEF
 teng yonli uchburchaklar teng.           
ABC
 uchburchakda 
AC
=
BC
 va 
AB
 = 2 
sm
. Agar 
DE
= 4 
sm
 bo‘lsa, har bir uchburchak perimetrini 
toping.

75
Bilimingizni sinab ko‘ring
27
1. Bo‘sh qoldirilgan joylarni mantiqan to‘g‘ri so‘zlar bilan to‘ldiring.
1.  Agar uchburchakning ikkita tomoni va teng bo‘lsa, u ............... bo‘ladi.
2.  Teng yonli uchburchakning ................. uning medianasi ham, balandligi ham 
bo‘ladi.
3.  Yopiq siniq chiziqdan iborat shakl ................. deyiladi.
4.  Hamma tomonlari o‘zaro teng bo‘lgan uchburchakning ............... teng bo‘ladi.
5.  ............... uchburchakning medianalari, bissektrisalari va balandliklari o‘zaro teng.
6.  ............... asosiga yopishgan burchaklari teng.
7.  Teng tomonli uchburchak ................ uchburchak ham bo‘ladi.
1.  Hamma medianalari teng.
2.  Uchburchakning bir uchi va shu uch qarshisidagi 
tomon o‘rtasini tutashtiruvchi kesma.
3.  Uchburchakning bir uchidan shu uch qarshisidagi 
tomonga tushirilgan perpendikular.
4.  Uchburchak tomonlari yig‘indisi.
5.  Yopiq siniq chiziq.
2. Quyida keltirilgan jumlalardagi xatoni toping va tuzating.
1.  Teng yonli uchburchakning burchaklari teng.
2.  Agar ikki uchburchakning burchaklari mos ravishda teng bo‘lsa, bu uchburchaklar 
teng bo‘ladi.
3.  Teng yonli uchburchakning medianasi uning bissektrisasi va balandligi ham 
bo‘ladi.
4.  Uchburchakning burchagidan chiqib, shu burchakni teng ikkiga bo‘luvchi nurga 
uchburchak bissektrisasi deyiladi.
5.  Mediana — uchburchak tomonini teng ikkiga bo‘luvchi chiziq.
6.*  Agar ikki uchburchakning bir tomoni va ikkita burchagi mos ravishda teng bo‘lsa, bu 
uchburchaklar teng bo‘ladi.
7.  Bir uchburchakning ikki tomoni va bir burchagi, ikkichi uchburchakning ikki tomoni 
va bir burchagiga mos ravishda teng bo‘lsa, bur uchburchaklar teng bo‘ladi.
3. Jadvalda keltirilgan xossalar, talqinlarga mos keluvchi geometrik 
tushunchalarni toping.

76
4. Testlar.
1.  Teng yonli uchburchakning ikki tomoni 8 va 3 ga teng. Uning 
uchinchi tomonini toping.
A) 5;  
 
B) 8; 
       D) 11;   
E) 9.
2. 
P
 = 36, 
a
 = ? (1-rasm)
A) 11; 
 
B) 12;   
D) 13;   
E) 18.
3.  Teng yonli uchburchakning perimetri 48, yon tomoni 18 ga 
teng. Uning asosini toping.
A) 18; 
 
B) 12;   
D) 16;   
E) 18.
4.  Teng yonli uchburchakning perimetri 48 ga teng. Uning 
tomonlaridan biri 12 ga teng bo‘lsa, qolgan tomonlarini 
toping.
A) 12; 12 
B) 16; 16 
D) 18; 24 
  E) 18; 18.
5.  Teng yonli uchburchakning perimetri 36 ga, tomonlaridan 
biri esa 16 ga teng. Uchburchakning qolgan ikki tomonining 
uzunligini toping.
A) 16 va 4;    B) 10 va 10; 
D) 10 va 10 yoki 16 va 4; 
E) Bunday uchburchak mavjud emas.
6. 
AC
=? (2-rasm)
A) 6;  
 
B) 8; 
 
D) 12;   
  E) 10,5. 
1
a
a
a-3
5. Masalalar.
2.  Quyida keltirilgan uchburchaklar juftliklaridan qaysilari o‘zaro teng bo‘ladi? Qaysi 
alomatga ko‘ra?
1.  Rasmda berilgan ma’lumotlar asosida uchburchaklarning turlarini aniqlang.
7
7
7
60°
65°
55°
5
5
4
95°
90°
3)
1)
4)
2)
2
A
B
C
D
6
O

77
5)
6)
3. 3-rasmda 
Δ
ACD
=
Δ
ABF
 ekanligini isbotlang.
4. Agar 4-rasmda 
∠
CAB
=
∠
ABD
 bo‘lsa, 
AD
=
BC
 
ekanligini ko‘rsating.