Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

5. 5-rasmda 
Δ
ABD
=
Δ
BCD
 bo‘lishini isbotlang.
6. 6-rasmda 
Δ
ABC
=
Δ
ADC 
bo‘lishini isbotlang.
7. Agar 
Δ
ABC
  va 
Δ
PQR
  da 
AB =PQ,  AC = PR 
va 
BC =QR 
bo‘lsa, 
Δ
ABC  
va 
Δ
PQR
 teng bo‘ladimi?
8.  Agar 7-rasmda 
AB = AC, BE = CF
 bo‘lsa, a) 
Δ
AED
= 
=
Δ
AFD
; b) 
Δ
BED
=
Δ
CFD
 ekanligini isbotlang.
9. 8-rasmda 
Δ
ABC
=
Δ
EFD
 bo‘lishini isbotlang.
10. 9-rasmda 
AD = CE 
ekanligini isbotlang.
11. 10-rasmdagi ma’lumotlarga ko‘ra 
x
 ni toping.
12. 
AE 
va 
BD
 kesmalar 
C
 nuqtada kesishadi. Agar 
DC
=
DE
, 
AB
=
BC
 va 
∠
BAC
= 48° bo‘lsa, 
∠
CED
 
ni toping.
13. 
ABC
 uchburchak ichida 
D
 nuqta olingan. Agar 
AC
=
AB
, 
CD
=
BD
 va 
∠
BDA
= 120° bo‘lsa, 
∠
ADC
 
ni toping.
3
A
B
C
D
F
O
4
A
B
C
D
6
D
B
C
β
β
α
α
A
5
A
D
B
C
β
β
α
α
7
A
D
B
C
E
F
9
A
D
B
C
E
8
A
D
B
C
E
F
α
α
10
85°
x

78
1
A
B
D
C
10
x
-?
Nazorat ishi ikki qismdan iborat bo‘ladi:
I. 76-betdagi test savollariga o‘xshash 5 ta test;
II. Quyidagi masalalarga o‘xshash 3 ta masala (4-ma-
sala "a’lo" baho olmoqchi bo‘lgan o‘quvchilar uchun qo‘-
shimcha).
1.  1-rasmda berilgan ma’lumotlar bo‘yicha noma’lum kes-
mani toping.
3-nazorat ishi namunasi
28
Qobiliyatli o‘quvchilar uchun qo‘shimcha topshiriq.
1. «Geometriya –7» elektron darsligining tegishli bobi sahifalari bilan tanishib chiqing. 
Mazkur bobga kiritilgan mavzularga oid interaktiv animatsiya ilovalarida berilgan 
topshiriqlarni bajarib va test topshiriqlarini yechib o‘z bilimingizni sinab ko‘ring.
2. Shuningdek, 10-betda keltirilgan internet resurslaridan mazkur bobga tegishli 
materiallarni toping va o‘rganib chiqing.
2. 
AB
 va 
CD
 kesmalar 
O
 nuqtada kesishadi. Agar 
∠
CAB
=
∠
ABD
 va 
AO
=
BO
 bo‘lsa, 
∠
ACO
=
∠
BDO
 ekanligini isbotlang.
3.  Teng yonli uchburchakning perimetri 18,4 
m
 ga teng, asosi esa yon tomonidan           
3,6 
m
 ga qisqa. Bu uchburchakning tomonlarini toping.
4*.  Uchburchaklar tengligini ikki tomon va shu tomonlarning biriga tushirilgan mediana 
bo‘yicha isbotlang.

YASASHGA DOIR MASALALAR
III BOB
Bilimlar:
—  Aylana, aylana markazi, radiusi va diametri ta’riflarini bilish;
—  Sirkul va oddiy chizg‘ich yordamida qanday masalalar yechish mumkinligini 
bilish.
Ko‘nikmalar:
—  Chizg‘ich va sirkul yordamida yasash ishlarini amalga oshirish;
—  Berilgan burchakka teng burchakni yasay olish;
—  Burchak bissektrisasini yasay olish;
—  Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlarni yasay olish;
—  Kesmani teng ikkiga bo‘lish;
—  Berilgan elementlariga ko‘ra uchburchaklarni yasay olish.
Bu bobni o‘rganib chiqqach quyidagi bilim va amaliy ko‘nikmalarga 
ega bo‘lasiz:

80
Aylana
Tayin nuqtadan teng uzoqlikda yotgan nuqtalardan 
uborat shakl aylana deb ataladi. Bu tayin nuqta aylananing 
markazi deyiladi. Aylananing ixtiyoriy nuqtasidan uning 
markazigacha bo‘lgan masofa aylananing radiusi deb 
ataladi (1-rasm). Shuningdek, aylananing markazini uning 
ixtiyoriy nuqtasi bilan tutashtiruvchi kesmani ham radius deb 
yuritamiz. Aylananing ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi 
kesma aylana vatari deb ataladi. Markazdan o‘tuvchi 
vatar esa diametr deb ataladi. Tekislikning aylana bilan 
chegaralangan qismi (chekli qismi) doira deb ataladi.
Aylana sirkul yordamida chiziladi. Markazi berilgan 
O
 nuqtada, radiusi 
a
 kesmadan iborat aylanani sirkul 
yordamida chizish 2-rasmda ko‘rsatilgan.
Masala.
 Aylana vatari o‘rtasidan o‘tuvchi diametr 
vatarga perpendikular bo‘lishini isbotlang.
Isbot.
 Aytaylik, 
AB
 — aylananing vatari va 
C
 uning 
o‘rtasi bo‘lsin (3-rasm). 
AOB
 uchburchakning 
OA
 va 
OB
 
tomonlari aylana radiuslari bo‘lgani uchun, bu uchburchak 
teng yonli bo‘ladi. Shartga ko‘ra, 
OC — AOB
 teng yonli 
uchburchakning medianasi. U holda teng yonli uchburchak 
medianasi xossasiga ko‘ra, 
OC
 kesma balandlik ham bo‘-
ladi.
Demak, vatar o‘rtasiga tushirilgan diametr vatarga 
perpendikular bo‘ladi.  
Teorema isbotlandi.
Aylanani katak daftarda sirkulsiz qo‘lda chizish yo‘l-
yo‘rig‘i.
1.  Katak daftarga 4-rasmda ko‘rsatilgandek qilib, nuqtalarni 
belgilang.
2.  Hosil bo‘lgan 12 ta nuqtalarni ketma-ket yoysimon chiziq 
bilan tutashtirib chiqing.
Natijada, markazi 
O
 nuqtada bo‘lgan aylananing taxminiy 
tasviri hosil bo‘ladi. Bu usulni (nuqtalarning o‘rnini) yodda 
29
2
3
1
markaz
radius
diametr
vatar
aylana
a)
b)
c)
B
С
A
O

81
1.   Aylanaga ta’rif bering va chizmada sharhlang.
2.   Aylananing markazi, radiusi, vatari va diametri 
nima?
3.   Aylananing qaysi vatari eng uzun bo‘ladi?
4.   Sirkul ishlatmasdan aylana chizishning qanday 
usullarini bilasiz?
5.   Nima uchun arava, velosiped, avtomobillarning 
g‘ildiraklari aylana   shaklida?
6.   Nega quduqlarning qopqog‘i kvadrat shaklida emas, 
doira shaklida bo‘ladi?
7.   Atrofingizda aylanaga misol bo‘ladigan 10 tadan 
predmetlarning nomini yozing.
8.   
AB
 va 
CD
 kesmalar 
O
 markazli aylananing 
diametrlari. a) 
∠
BCD
=
∠
ABC
; b) 
∠
BAD
=
∠
BCD
;
 
c) 
AD
=
BC
; d) 
AC
=
BD
 ekanligini ko‘rsating.
9. 
 Markazi berilgan to‘g‘ri chiziqda yotuvchi radiusi      
a) 5 
sm
 ga b) 7 
sm
  ga c) 4,6 
sm
 ga teng bo‘lgan 
aylana chizing.
10.  
AB
 va 
CD
 kesmalar — markazi 
O
 nuqtada bo‘l-
gan aylanani
ng diametrlari. Agar CB  =  10  sm, 
AB = 12 sm bo‘lsa, ∆AOD
 ning perimetrini toping.
11.  5-rasmdagi noma’lum burchak 
x
ni toping.
12*.  Aylana vatariga perpendikular bo‘lgan diametr shu 
vatarni teng ikkiga bo‘lishini isbotlang.
13.  Aylanadagi nuqtadan radiusga teng ikkita vatar 
o‘tkazildi. Shu vatarlar orasidagi burchakni toping.
Savol, masala va topshiriqlar
B
A
O
5
x
O
4
saqlab qoling. U sizga sirkul qo‘l ostingizda bo‘lmaganda 
aylana chizishda asqotadi.
3. 
O
 nuqtadan ana shu 12 ta nuqtaga masofalar o‘zaro 
tengligini tekshirib ko‘ring.

82
Yasashga oid masalalarni faqat oddiy chizg‘ich va sirkul 
vositasida yechish Qadimgi Yunonistonda san’at darajasiga 
yetgan. Albatta hayotda geometrik yasash istalgan asbob bilan 
bajarilishi mumkin va qulay. Ammo oddiy chizg‘ich vositasida 
masala yechish mantiqiy mushohada qobiliyatini o‘stiradi.
Shu paytgacha turli xil asboblar yordamida har xil geometrik 
shakllarni yasab keldik. Masalan, chizg‘ichlar yordamida to‘g‘ri 
chiziq, nur, kesma, uchburchak va boshqa shakllarni chizdik. 
Chizg‘ich va transportir yordamida turli xil burchaklarni chizdik. 
Sirkul yordamida esa aylana va yoylarni tasvirladik (1-rasm).
Ma’lum bo‘lishicha, ko‘plab geometrik shakllarni faqat 
masshtabli bo‘linmalarga ega bo‘lmagan, bir tomoni to‘g‘ri 
chizg‘ich va sirkul (2-rasm) yordamida yasash mumkin ekan. 
(Bunday chizg‘ichni oddiy chizg‘ich deb ataymiz.)
Shu sababdan, geometriyada shu ikki asbob yordamida 
yasashga doir masalalar maxsus ajratib qaraladi.
Bu ikki asbobdan foydalanishning maxsus qoidalari bor —   
ular vositasida faqat quyidagi ishlarni bajarishga ruxsat beriladi:
Oddiy chizg‘ich yordamida faqat:
1.  Ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq chizish;
2.  Tayin nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq chizish;
3.  Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni chizish.
1
2
Sirkul va chizg’ich yordamida yasashga doir masalalar
30
Sirkul yordamida faqat:
1.  Ixtiyoriy aylana chizish;
2.  Markazi berilgan nuqtada bo‘lgan ixtiyoriy radiusli aylana chizish;
3.  Tayin radiusli, markazi esa ixtiyoriy aylana chizish;
4.  Makazi berilgan nuqtada radiusi berilgan kesmadan iborat aylana chizish;
5.  Berilgan kesmaga teng kesmani berilgan to‘g‘ri chiziqqa uning berilgan nuqtasidan 
boshlab har ikki yo‘nalishda qo‘yish.
Boshqa har qanaqa yasash mana shu amallarga keltirilishi lozim. Hatto chizg‘ichda 
millimetrli bo‘lmalar bo‘lsada kesmalarning uzunliklarini o‘lchash va ma’lum uzunlikdagi 
kesmani biror to‘g‘ri chiziqqa qo‘yishga ruxsat berilmaydi.
Yasashga doir masalalarda nafaqat biror geometrik shaklni yasash yo‘lini, usulini 
topish talab qilinadi, balki hosil bo‘lgan geometrik shaklni haqiqatan berilgan shartlarni 
qanoatlantirishini asoslash, ya’ni isbotlash ham lozim bo‘ladi.

83
Shu bois, yasashga doir masalalar ham shakl yasash usulini, yo‘l-yo‘rig‘ini 
topishni, ham uni asoslashni talab qiladi.
1.   Oddiy chizg‘ich  yordamida  qanday shakllarni chizish mumkin?
2.   Sirkul  yordamida  yasashga doir qanday ishlarni  amalga oshirish mumkin?
3.  
To‘g‘ri 
chiziqda 
A
 va 
B
 nuqtalar berilgan. 
BA
 nur 
B
 nuqtadan boshlab 
BC
 kesmani  
shunday qo‘yingki, 
BC
= 2
AB
 bo‘lsin.   
4.   Agar aylanadan tashqaridagi nuqtadan aylananing eng yaqin va uzoq nuqtalari-
gacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 2 sm va 10 sm bo‘lsa, aylana radiusini 
toping.
5.    
A
 va 
B
 nuqtalar berilgan. Faqat sirkuldan foydalanib shunday 
C
 nuqta yasangki, 
AC
= 3
AB
 bo‘lsin.
6.   
a
 va 
b
 uzunlikdagi kesmalar berilgan. a) 
a
  + 
b
; b) 
a
  – 
b
; c) 2
a
 + 3
b
; d) 2
a
 – 
b
 
uzunlikdagi kesmalarni yasang.
7.  
Uzunligi 12 
sm
 va 5 
sm
 bo‘lgan kesmalar berilgan. Uzunligi a) 17 
sm
; b) 7 
sm
;                
c) 12 
sm
; d) 22
 sm
; e) 29 
sm
 bo‘lgan kesmalarni yasang.
8.   Aylana diametri uning eng katta vatari ekanligini isbotlang.
Savol, masala va topshiriqlar
Sardor aylana chizib bo‘lgach, uning markazini qalam bilan belgilashni unutganini 
payqab qoldi. O‘chakishganday, izi ham qolmabdi. Lekin  aylananing radiusi 12 
sm
 
ekanligi uning esida edi. Bu ma’lumotdan foydalanib, faqat sirkul yordamida  chizilgan 
aylananing markazini topib bo‘ladimi?
1-masala.'>Geometrik boshqotirma
Berilgan burchakka teng burchakni yasash
31
1
A
O
1-masala.
 
A
 burchak berilgan. 
O
 nurga 
(1-rasm) 
A
 burchakka teng burchak qo‘ying.
Yasash:__1-qadam.'>Yasash:
1-qadam. Markazi 
A
 nuqtada bo‘lgan ixtiyoriy 
aylana chizamiz (2-rasm). Bu aylana berilgan 
A
 
burchak tomonlarini 
B
 va 
C
 nuqtalarda kesib o‘tsin.
2-qadam. Radiusi chizilgan aylana radiusiga 

84
2-masala.
 Berilgan ikkita burchak yig‘indisiga 
teng bo‘lgan burchak yasang (5. a-rasm). 
Yasash:
 1-qadam. Avval birinchi burchakka teng 
bo‘lgan 
BAC
 burchakni yasaymiz (5. b-rasm). 
2-qadam. 
AC
 nurga ikkinchi burchakka teng bo‘lgan 
CAD
 burchakni qo‘yamiz. Hosil bo‘lgan 
BAD 
burchak 
berilgan burchaklar yig‘indisiga teng burchak bo‘ladi.
5
2
A
B
C
3
O
C
1
4
O
C
1
B
1
1.  a) 30°; b) 60°; c) 15°; d)120°; e) 45° li burchaklar 
berilgan. Oddiy chizg‘ich va sirkuldan foydalanib, 
ularga teng burchaklarni yasang.
2. 
∠
A
=
α
 va 
∠
B
=
β burchaklar berilgan (
α
>
β
). 
O’lchovi: a) 2
α; b) 
α
–
β
; c) 2
α
+
β
 bo‘lgan burchak-
larni yasang.
3.  45° va 30° burchaklar berilgan. O‘lchovi a) 15°; b) 75°; 
c) 105°; d) 120° bo‘lgan burchaklarni yasang.
Savol, masala va topshiriqlar
a)
b)
A
D
C
B
teng va markazi 
O
 nuqtada bo‘lgan aylana chizamiz 
(3-rasm). Bu aylanani 
O
 nur bilan kesishish nuqtasi 
C
1
 bilan belgilaymiz.
3-qadam. Markazi 
C
1
 nuqtada, radiusi esa 
BC
 
ga teng bo‘lgan uchinchi aylana chizamiz (4-rasm). 
Uning ikkinchi aylana bilan kesishish nuqtalaridan 
birini, aytaylik yuqori yarimtekislikda yotganini 
B
1
 bilan 
belgilaymiz. 
4-qadam. 
OB
1
 nurni o‘tkazamiz (4-rasm). Hosil 
bo‘lgan 
B
1
OC
1
 burchak 
O
 nurga qo‘yilgan, berilgan 
A
 
burchakka teng burchak bo‘ladi.
Asoslash:
 2 va 4-rasmda tasvirlangan 
ABC
 va 
OB
1
C
1
 uchburchaklarda yasashga ko‘ra: 
AB
=
OB
1
, 
AC
=
OC
1
 va 
BC
=
B
1
C
1
.
Demak, uchburchaklar tengligining TTT alomatiga 
ko‘ra 
Δ
ABC
 = 
Δ
OB
1
C
1
. Xususan, 
∠
B
1
OC
1
 = 
∠
A
.
Eslatma: Bu masala ikkita yechimga ega bo‘lib, 
yechimlar 3-qadamda 
O 
nur yotgan to‘g‘ri chiziq ajratgan 
qaysi yarimtekislik olinishiga bog‘liq boladi.

85
2-qadam. Radiusni o‘zgartirmasdan, mar-
kazlari 
B
 va 
C
 nuqtalarda bo‘lgan ikkita aylana 
chiziladi. Bu ikki aylana kesishuvidan hosil 
bo‘lgan 
D
 nuqta belgilanadi. 
2
A
C
B
3-qadam. 
A
 va 
D
 nuqtadan o‘tuvchi 
AD
 nur 
o‘tkaziladi. 
AD
  nur — berilgan burchak bissektrisasi 
bo‘ladi.
Asoslash.
 
ABD
 va 
ACD
 uchburchaklarda
1) yasashga ko‘ra 
AB
 = 
AC
;
2) yasashga ko‘ra 
BD
 = 
CD
;
3) 
AD
 — umumiy tomon.
Uchburchaklar tengligining TTT alo-
matiga ko‘ra, 
Δ
ABD
 = 
Δ
ACD
. Xususan,                                        
∠
BAD
 = 
∠
CAD
.
4
A
C
B
D
3
A
C
B
D
1-rasmda tasvirlangan 
A
 burchak berilgan 
bo‘lsin. Bu burchakni teng ikkiga bo‘ish uchun 
quyidagicha yo‘l tutiladi:
Yasash:
1-qadam. Markazi 
A
 nuqtada bo‘lgan ixtiyoriy 
radiusli aylana chiziladi va uning burchak to-
monlari bilan kesishish nuqtalari 
B
 va 
C 
belgi-
lanadi;
1
A
C
B
Burchak bissektrisasini yasash
32
Masala.
 Berilgan to
‘
g‘ri burchakni teng 
uchga bo‘ling.
Yechilishi:
 
∠
A
 to‘g‘ri burchak berilgan  bo‘lsin. 
Uning uchini markaz qilib, ixtiyoriy radiusli aylana 
chizamiz. Aylana to‘g‘ri burchak tomonlarini 
B
 va 
C
 nuqtalarda kesib o‘tsin. Radiusni 
o‘zgartirmasdan markazi 
B
 va 
C
 nuqtalarda 
bo‘lgan yana ikkita aylana chizamiz. Bu aylanalar 

86
5
A
B
M
N
C
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Oddiy chizg‘ich va sirkul yordamida: a) 90°; b) 60°; 
c) 30° li burchaklarni teng ikkiga bo‘ling. 
2.  Burchak chizing va uni to‘rtta teng burchakka aj-
rating.
3.  45° li burchakni uchta teng burchakka bo’ling .
4.  Berilgan gipotenuzasi va o‘tkir burchagi bo‘-
yicha to’g’ri burchakli uchburchak yasang.
5.  36° li burchak berilgan. Sirkul va oddiy chizg’ich 
yordamida 99° li burchak yasang.
6*. 54° li burchak berilgan. Sirkul va oddiy chizg‘ich 
yordamida bu burchakni teng uchga bo‘ling.
Shohjahon dadasining yozuvlari ichidan 6-rasm-
da tasvirlangan chizma topib oldi. Afsuski, bu bur-
chakning bir qismiga siyoh tomib, o‘chib ketgan ekan. 
Shohjahon bu burchakning bissektrisasini yasay 
oladimi?
Geometrik boshqotirma
6
birinchi aylana bilan kesishgan nuqtalardan to‘g‘ri 
burchak ichida yotganlarini 
M
 va 
N
  bilan belgilaymiz. 
AM
  va 
AN
 nurlarni chizamiz. Bu nurlar berilgan 
to
‘
g
‘
ri burchakni uchta teng burchakka ajratadi. Bu 
tasdiqning to‘g‘riligini mustaqil asoslang.
Eslatma.
 Berilgan ixtiyoriy burchakni uchga bo‘lish 
masalasi juda qadimgi va mashhur masala bo‘lib, bu 
haqda ko‘p olimlar bosh qotirishgan. Faqat XIX asrga 
kelib, ayrim burchaklar istisno bo‘lib, odatda burchakni 
teng uchga bo‘lib bo‘lmasligi isbotlangan. Masalan, 60°li 
burchakni teng uchga bo‘lib bo‘lmaydi. Gap, albatta, 
oddiy chizg‘ich va sirkul bilan aniq yasash haqida 
bormoqda. Bu asboblar bilan juda katta aniqlikda taqribiy 
yasash yoki boshqa asboblardan foydalanib aniq yasash 
bajarilishi mumkin.

87
1-masala.
 Berilgan 
a
 to‘g‘ri chiziqqa uning 
O
 
nuqtasidan o‘tuvchi perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni 
yasang.
Yasash:
 
1-qadam. 
O
 nuqtani markaz qilib ixtiyoriy aylana 
chizamiz. U berilgan to‘g‘ri chiziqni 
A
 va 
B
 nuqtalarda kesib 
o‘tsin (1-rasm).
2-qadam. 
A
 va 
B
 nuqtalarni markaz qilib, radiusi 
AB
 
ga teng aylanalar chizamiz (2-rasm). Bu aylanalarning 
kesishish nuqtalaridan birini 
C
 deb belgilaymiz.
3-qadam. 
C
 va 
O
 nuqtalardan o‘tuvchi 
OC
 to‘g‘ri 
chiziqni yasaymiz (3-rasm).
OC
 to‘g‘ri chiziq berilgan 
a
 to‘g‘ri chiziqqa uning 
O
 
nuqtasidan o‘tuvchi perpendikular bo‘ladi.
Asoslash.
 
AOC
 va 
BOC 
uchburchaklarni qaraymiz. 
Ularda, yasashga ko‘ra:
1. 
AO
 = 
BO;
2. 
AC
 = 
BC;
3. 
CO
 esa umumiy tomon.
Demak, uchburchaklar tengligining TTT alomatiga 
ko‘ra, 
Δ
AOC
 = 
Δ
BOC
. U holda, 
∠
AOC
=
∠
BOC
. Lekin 
∠
AOC
 + 
∠
BOC
= 180°. Bundan 
∠
AOC
=
∠
BOC
= 90° 
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, haqiqatdan ham 
OC
⊥
a
.
2-masala.
 Berilgan 
a
 to‘g‘ri chiziqqa unda 
yotmaydigan 
O
 nuqtadan o‘tuvchi perpendikular 
to‘g‘ri chiziqni yasang.
Yasash:
 
1-qadam. Markazi 
O
 nuqtada bo‘lgan ixtiyoriy aylana 
chizamiz. U berilgan to‘g‘ri chiziqni 
A
 va 
B 
nuqtalarda kesib 
o‘tsin (4-rasm).
1
A
B
O
a
3
A
B
O
a
C
2
A
B
O
a
C