Azətrbaycan Müəllimlər nstitutunun Şəki filialı Təbiət Elmləri və Tədtisi metodikası
Yüklə 210,42 Kb. Pdf görüntüsü
|
|
e
e m h x x x δ δ δ δ ω + + + + + + − = + − 2 2 2 2 4 2 1 4 1 4 4 1 n , m n , m n , m n , m ) n )( n ( ) n ( n ) n ( n m h δ δ δ δ ω .
Məsələnin şərtinə görə m = n olmalıdır. Onda matris elementi orta qiyməti verər: , n m h n n m h ) n ( n m h x n + = + + = + + = 2 1 2 1 2 4 1 4 2 2 2 ω ω ω
n m h x n + = 2 1 2 ω
Harmonik ossilyatorun potensial enerjisi belədir: . x m U 2 2 0 2 1 ω =
Onda n halının potensial enerjisinin orta qiyməti: , n h n m h m x m U n + = + = = 2 1 2 2 1 2 2 2 0 2 2 0 ω ω ω ω
E U n n 2 1 =
burada n E ossilyatorun n halının tam enerjisidir: . n h E n + = 2 1 ω
26. Hidrogen atomu üçün Şredinger tənliyini yaz. Cavab: Ən sadə atom – hidrogen atomu, ətrafında elektron “fırlanan” protondan ibarətdir. Bu atomda proton və elektron qarşılıqlı - r / e 2 təsir potensialına malikdirlər. Belə ki, e z 1
və e z 2 yüklü iki zərrəciyin elektroctatik enerjisi ( ) r e z z r V 2 2 1 = düsturu vasitəsi ilə verilir və Kulon potensialı adlanır. Belə potensial enerjiyə malik iki zərrəciyin Hamilton operatoru aşağıdakı kimi olar: , r e z z m P ˆ m P ˆ H ˆ 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 + + = burada
1 P ˆ və
2 P ˆ zərrəciklərin impuls operatorları, 1
və
2 m onların kütlələridir. Hamilton operatorunu iki operatorun kütlə mərkəzinin sərbəst hərəkəyini və
2 1 2 1 0 + = gətirilmiş kütlənin nisbi hərəkətini xarakterizə edən operatorların cəmi şəklində yazmaq mümkündür. Beləliklə, iki zərrəcikli kvant sisteminin tədqiqini, zərrəciyin potensialı olan r / e z z 2 2 1 olan sferik-simmetrik sahədə hərəkətinə gətirmək olur. Bu hərəkət üçün Hamilton operatorunu aşağıdakı kimi yaza bilərik:
2 2 1 1 2 1 2 2 + =
Elektronun yükü e − , protonun yükü isə e + olduğundan ( )
2 1 = = z z
r e r e z z 2 2 2 1 − =
yazırıq. Qeyd edək ki, proton-elektron sisteminin gətirilmiş kütləsi elektronun kütləsinə təxminən bərabər götürülə bilər: ( ) . m m m / m m m e p e e p ≈ + = 0
Ə gər kütlə mərkəzi sistemində elektron-proton sisteminin enerjisini E ilə işarə etsək, onda sferik-simmetrik sahədə hərəkət edən zərrəcik üçün (hidrogen atomu) Şredinger tənliyini aşağıdakı kimi yazılar: ( )
0 2 2 0 2 = + + r ψ ∆
27. Hidrogen atomu üçün Şredinger tənliyindən orbital kvant ədədini təyin et . Cavab: Hidrogen atomu üçün Şredinger tənliyini belədir: ( )
. r E r e m h 0 2 2 0 2 = + + r ψ ∆
Həmin tənliyi sferik koordinat sistemində tapmaq asandır, çünki burada tənlik radial və bucaq dəyişənlərinə ayrılır. Laplas operatorunun sferik koordinat sistemində məlum ifadəsi isə belədir:
. sin sin sin r r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ϕ θ θ θ θ θ ∆
ndi Şredinger tənliyini sferik koordinat sistemində yazaq: ( ) . , , r r e E h m sin ctg r r r r 0 2 1 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕ θ ψ ϕ θ θ θ θ
Tənliyinin həllini ( ) ( ) ( ) ϕ θ ϕ θ ψ , Y r F , , r =
şə klində axtarırıq. Həmin həlli Şredinger tənliyində yerinə yazaq və tənliyi 2
ϕ -na bölək: ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 ϕ θ θ θ θ
sin Y ctg Y Y r e E h r m r F r r F F r
alırıq. Bu ifadənin sol tərəfi yalnız r -dən, sağ tərəfi isə θ və φ -dən asılıdır. Onlar bir-birinə o vaxt bərabər ola bilər ki, r ,
θ və
φ -dən asılı olmayan eyni bir sabitə bərabər olsunlar: kinci tənlik aşağıdakı şəklə düşür: ( )
) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕ θ ϕ ϕ θ θ θ ϕ θ θ θ ϕ θ
cY , Y sin , Y ctg , Y . Bu tənlik hərəkət miqdarı momentinin kvadratı operatorunun məxsusi qiymətini və məxsusi funksiyasını təyin edən tənlik olduğunu bilirik: ( ) ( ) (
) , , Y l l h , Y M ˆ m l m l ϕ θ ϕ θ 1 2 2 + =
( ) ( )( ) ( ) ( )
e cos P ! m l ! m l l , Y im m l m l ϕ θ π ϕ θ + − + = 4 1 2
Deməli: ( )
l l c 1 + = burada l orbital kvant ədədidir. 28. Hidrogen atomunun l və
m kvant ədətlərinə görə cırlaşmış hallarını təsvir elə. Cavab: Hidrogen atomunun məxsusi funksiyası Lejandr və Laqerr polinomları ilə təyin olunan 3 kvant ədədlərindən, { n,l,m } asılıdır. Atomun enerjisi isə bir kvant ədədindən, baş kvant ədədi
-dən asılıdır. Yəni, Hidrogen atomunun halı l və
m kvant ədədlərinə görə cırlaşmış haldır. Enerjinin E n qiyməti üçün l = 0,1,2,..., n -1 və
m = -
l ,-
+1,...,+
olduğuna görə cırlaşmanın dərəcəsini təyin edə bilərik:
( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2
k , n n n n l n l = = + − = − ∑ − =
hidrogen atomunun əsas halı 0 1 =
= l , n , yəni 1
s halıdır. Birinci həyəcanlaşmış hal dördqat cırlaşmış olub, bir 2
halı və üç 2 p halından ibarətdir. kinci həyəcanlaşmıç hal bir 3 s , üç 3
p
və beş 3 d hallarından ibarət olan cırlaşmış hallardır və s. Ş redinger tənliyinin radial hissəsini ödəyən həll üçün , h e m n , h e m n ε ε 2 2 0 2 2 2 0 − = − =
, n h R n h e m E E g n 2 2 2 2 0 2 − = − = ≡ 1 581 109677 − = sm , R g
BU ifadə hidrogen atomunda elektronun enerjisinin mümkün qiymətidir.
- Ridberq sabiti adlanır. Hidrogen atomunun enerjisi diskret qiymətlər alır, kvantlanır. n tam ədədi baş kvant ədədi adlanır və ∞ =
, , n 3 2 1
qiymətlərini alır. Baş kvant ədədinin hər bir qiymətinə orbital kvant ədədinin l sıfırdan ( ) 1 − n -ə qədər bütün müsbət tam ədədləri alır. Yüklə 210,42 Kb. Dostları ilə paylaş:
|