Plan: Qalıqlı bölmə haqqında teorem

Mühazirə 5. Qalıqlı bölmə haqqında teorem. Çoxhədlilərdə bölünmə münasibəti.ƏBOB və ƏKOB. Onların sadə xassələri
Plan:

1. 
   Qalıqlı bölmə haqqında teorem
   
2. 
   Assosiyalanmış çoxhədlilər
   
3. 
   ƏBOB və ƏKOB.Sadə xassələri
   

Yuxarıda gördük ki, iki çoxhədlinin hasilinin dərəcəsi vuruqların dərcələri cəminə bərabərdir. Ən sadə halda iki birhədlidən birinin dərəcəsi böyük olarsa, onda onu kiçik dərəcəli birhədliyə bölmək o zaman mümkün olar ki, birincinin əmsalı ikinciyə bölünsün. Əsas halqa meydan olduqda bu həmişə mümkün olur. Buna görə də əvvəlcə sadə hal kimi meydan üzərində çoxhədlilər halqasını öyrənmək daha əlverişlidir.
Tutaq ki, hər hansı bir K meydanı verilmişdir. Bu meydan üzərində çoxhədlilər halqasına baxaq. Bu halqa bölünmə ilə bağlı xüsusiyyətləri ilə tam ədədlər halqasına çox yaxındır, çünki burada da qalıqlı bölmə haqda teorem vardır. Bu teorem aşağıdakı şəkildə söylənilir.
Teorem 1. İxtiyari iki çoxhədliləri üçün elə yeganə ( ) çoxhədlilər cütü göstərmək olar ki,:

münasubəti ödənməklə ya və ya .
İsbatı. Əvvəlcə göstərilən münasibətin doğruluğunu isbat edək. F çoxhədlisinin dərəcəsinə görə induksiya metodunu tətbiq edək. Tutaq ki, . Əgər olarsa, onda və deməli, . Bu halda , götürmək kifayətdir.
Fərz edək ki, teorem dərəcəsi n-dək kiçik çoxhədlilər üçün isbat olunmuşdur. qəbul edək və
,

işarə edək. İki hala baxaq. Əvvəlcə tutaq ki, . Bu halda və qəbul etsək, onda tələb olunan bərabərliyi alarıq. İndi isə fərz edək ki, . Aşağıdakı fərqə baxaq:
.
Asanlıgla yaza bilərik:


İnduktiv fərziyyəyə əsasən və çoxhədliləri üçün elə və çoxhədliləri tapmaq olar ki,

<sub>və ya

olsun. Onda
.
Əgər

işarə etsək yaza bilərik:

Beləliklə, biz tələb olunan göstərilişi aldıq. Bu göstərilişin yeganəliyini isbat etmək üçün tutaq ki, f(x) üçün iki belə göstəriliş vardır:</sub>


olmaqla, . Tərəf-tərəfə bu bərabərlikləri çıxaq. Onda alarıq

olarsa, sol tərəfin dərəcəsi m-dən az deyil. Lakin sağ tərəfin dərəcəsi isə aşağıdakı münasibəti ödəyir:
.
_{Alınan ziddiyyət göstərir ki,} . Deməli, və . Teorem isbat olundu.
_{Teoremin münasibəti ödənərsə, onda tam ədədlər halqasında oluğu kimi, f(x) bölünən, g(x) bölən, q(x) natamam qismət, r(x) isə qalıq adlanır.}
Teoremin ifadəsində olduqda alırıq.
Tərif 1. olarsa, onda deyilir ki, çoxhədlisi -ə bölünür və ya çoxhədlisi -in bölənidir.
Məsələn, çoxhədlisi çoxhədlisinə bölünür və eyni zamanda bu çoxhədli çoxhədlisinin bölənidir. və çoxhədliləri verilərsə, onda

münsibəti çoxhədlilər halqasında binar münasibət müəyyən edir. Bu münasibət bölünmə münasibəti adlanır və kimi işarə olunur.
Tərif 2. Əgər elə elementi olsa ki, onda və çoxhədliləri
_{assosasiyalanmış} çoxhədlilər adlanır və belə işarə olunur:
~ münasibəti halqasında ekvivalentlik münasibətidir.
_{Bölünmə münasibətinin aşağıdakı xassələri vardır:}

1. 
   və olarsa, onda
   
2. 
   və olrsa, ;
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   .
   
9. 
   Əgər olmaqla,
   

münasibəti ödənərsə, onda .