Puankare hipotezi

“Puankare hipotezi” adlanan minilliyin riyazi məsələsini həll edən, sonradan isə buna görə, 1 milyon dollarlıq beynəlxalq mükafatı belə almayan yahudi əsilli rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelman.

O, 1996-cı ildə Avropa Riyaziyyatçılar Cəmiyyətinin mükafatına layiq görülsə də, ödüldən imtina etmiş, yaşadığı cəmiyyətdən gizlənərək təqdimata gəlməmişdi.
Daha sonra riyaziyyatın ən mühüm problemlərindən biri, “Puankare hipotezi”ni həll etdiyinə görə alim Nobel mükafatına alternativ tanınan beynəlxalq “Filds” ödülündən imtina etmişdir. Bu barədə sual verənlərə belə demişdi:
“Ehtiyaclarımdan artıq pul mənə lazım deyil. Mən zoopark sakini deyiləm.”
Leninqradda yaşadıqları binanın 38 illik qonşusu Anatoli Yakovleviç jurnalistlərə bunları deyib:
“Qriqorini son vaxtlar ayda, ildə bir dəfə görürəm. Pendir, süd, çörək yeməyi xoşlayır. Görkəmi pintidi, saqqalına aylarla əl gəzdirmir. Milyon dollardan imtina etdiyi üçün deyə bilərəm ki, onun başı xarab olub.” Puankare fərziyyəsi sübut olunmuş riyazi fərziyyədir ki, sərhədsiz hər bir sadə bağlanmış yığcam üçölçülü manifold üçölçülü sferaya homeomorfdur . 1904-cü ildə riyaziyyatçı Henri Puankare tərəfindən tərtib edilmiş bu fərziyyə 2002-2003-cü illərdə Qriqori Perelman tərəfindən bir sıra məqalələrdə sübut edilmişdir . 2006-cı ildə riyaziyyat ictimaiyyəti tərəfindən sübutun təsdiqindən sonra Puankare konyeksiyası minilliyin ilk və indiyə qədər (2023) həll edilmiş problemi oldu .

Ümumiləşdirilmiş Puankare fərziyyəsi hər bir ifadədir

n-ölçülü manifold homotopiya ekvivalentidir
n-ölçülü sfera yalnız və yalnız ona homeomorf olduqda . Əsas Puankare fərziyyəsi üçün ümumiləşdirilmiş zənninin xüsusi halına ekvivalentdir
n=3. 20-ci əsrin sonlarında bu iş sübut olunmamış yeganə hal olaraq qaldı. Beləliklə, Perelmanın sübutu ümumiləşdirilmiş Puankare zənninin sübutunu da tamamlayır.
Ricci axını istilik tənliyinə bənzər xüsusi bir qismən diferensial tənlikdir . Rieman metrikasını manifoldda deformasiya etməyə imkan verir, lakin deformasiya prosesində "təkliklərin" meydana gəlməsi mümkündür - əyriliyin sonsuzluğa meyl etdiyi və deformasiyanın davam etdirilməsi mümkün olmayan nöqtələr. Sübutda əsas addım bu cür təklikləri üçölçülü yönümlü halda təsnif etməkdir. Sinqulyarlığa yaxınlaşdıqda, axın dayandırılır və " cərrahiyyə " aparılır - kiçik bir əlaqəli komponent atılır və ya "boyun" kəsilir (yəni birbaşa məhsula diffeomorf olan açıq bölgə).

(0,1)\ dəfə S^{2}) və yaranan iki çuxur iki topla bağlanır ki, nəticədə yaranan manifoldun metrikası kifayət qədər hamar olsun - bundan sonra deformasiya Ricci axını boyunca davam edir.

Yuxarıda təsvir edilən proses əməliyyatla Ricci axını adlanır. Təkliklərin təsnifatı hər bir “atılmış parça”nın sferik məkan formasına diffeomorf olduğu qənaətinə gəlməyə imkan verir .

Puankare zənnini sübut edərkən, sadəcə birləşdirilmiş üçölçülü manifoldda ixtiyari Rieman metrikası ilə başlayır.

M və əməliyyatla ona Ricci axını tətbiq edin. Əhəmiyyətli bir addım bu prosesin hər şeyi "atdığını" sübut etməkdir. Bu, orijinal müxtəliflik deməkdir
M sferik məkan fiqurlarının toplusu kimi təqdim oluna bilər
borularla bir-birinə bağlıdıı
əhəmiyyətsiz. Beləliklə
Msferalar toplusunun, yəni kürənin bağlı cəmidir.

Topologiyada Puankare fərziyyəsi 1904-cü ildə fransız riyaziyyatçısı, fiziki və filosofu Henri Puankare tərəfindən irəli sürülmüş bir teoremdir .

Bu teoremə görə, yığcam , kənarsız , deşiksiz ( sadəcə birləşdirilmiş ) üçölçülü çoxqatlı yalnız üçölçülü kürə ola bilər .

Puankare fərziyyəsi hər bir nöqtə ətrafında lokal olaraq üçölçülü Evklid fəzasına bənzəyən topoloji fəzalarla bağlı təklifi ifadə edir . Təsəvvür edək ki , kənarı olmayan ( dairənin kənarları yoxdur), lakin yığcam (kənarları yoxdur) . Bu fəzaya atılan hər çevrə fəzanın içində qala bilirsə və bir nöqtəyə qədər kiçilə bilirsə (deşik yoxdur), Puankare fərziyyəsinə görə, bu fəza dördölçülü Evklid fəzasında yerləşən üçölçülü kürə olmalıdır . Bu sadə misalla deşiksiz məkanı iki ölçüdə görmək olar: almanın qabığı üzərində uzanan rezin bant elastikliyini və qabığını qırmadan qabığın bir nöqtəsinə qədər büzülə bilər, lakin bu, mümkün deyil. ortasında deşik olan simit.Deşik olduğu müddətcə bəzi elastiklər simit səthində qalaraq

Bu fərziyyənin sübutu ilə kainatın əmələ gəlməsi, açıq kainatın gələcəyi və dünya daxilində mövcud kosmos-zaman toxumasındakı görünməz maddə olan qaranlıq maddənin təsiri ilə bağlı bir çox yeni nəzəriyyə və fərziyyələr inkişaf etdiriləcək. kainat, kainatın genişlənməsi haqqında.

Qapalı iki ölçülü səthdə hər bir dövr bir nöqtəyə qədər büzülə bilirsə, bu səth kürədir. Puankare fərziyyəsi eyni vəziyyətin hər üç ölçüdə keçərli olduğunu iddia edir.

Rəng dövrələrinin heç biri səthi tərk etmədən bir nöqtəyə qədər kiçilə bilməz.

Həll
Bir əsrə yaxın riyaziyyatçıları narahat edən bu problemi 44 yaşlı rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelman 2002-2003-cü illərdə həll edərək rəsmlər şəklində ictimaiyyətə təqdim edib. O vaxtdan bəri, 2006-cı ildə də daxil olmaqla, müxtəlif mühüm riyaziyyat komitələri tərəfindən rəsmi olaraq doğru olduğu təsdiq edilmişdir. O, 18 mart 2010-cu ildə Minilliyin Mükafatına layiq görülüb. [2]


Topologiyanın ən böyük problemlərindən biri olan Puankare fərziyyəsi mükafat qazanan Yeddi Minilliyin Problemlərindən biri idi və indiyə qədər həll edilən ilk problem idi. Clay Riyaziyyat İnstitutu ilk düzgün həll üçün 1 milyon dollar təklif etdi, lakin Perelman mükafatı qəbul etmədi. Perelman da bu həll üçün Fields Mükafatına layiq görüldü , lakin o, bundan imtina etdi