Qatorlarni klassifikatsiyalash va ularni yaqinlashishga

Sonli qatorlar. Qatorning yig`indisi. Qator yaqinlashuvchanligining zaruriy sharti.

Faraz qilaylik, biror sonlar to’plamining barcha elementlari [1,n] oraliqda tartib bilan nomerlangan bo’lsin. U holda, bunday ketma – ketlikka sonlar ketma – ketligi deyilib,
a₁, a₂, … a_n (1)
kabi ifodalanadi va umumiy holda kabi belgilanadi.
a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = (1)
ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda a₁, a₂, ... , a_n, ... haqiqiy sonlar bo`lib, qatorning hadlari, a<sub>n</sub> – had qatorning n - hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir (1) sonli qator uchun
S<sub>n</sub> = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + ... + a<sub>n</sub> , n = 1, 2, 3, ...
qismiy yig`indilar S_n qurish mumkin.
Misol. Ushbu

sonli qator uchun qismiy yig`indilar:


bo`ladi.
Agar (1) qatorning qismiy yig`indilari ketma-ketligi chekli limit S ga ega bo`lsa, bu songa qatorning yig`indisi deb ataladi:
(2)
Agar (2) chekli limitga ega bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, S - uning yig`indisi deyiladi.
Misol. Yuqorida keltirilgan misol uchun:

Demak, berilgan sonli qator chekli limitga ega ekan. Qator yaqinlashuvchi.
Agar bo`lsa yoki mavjud bo`lmasa, qator uzoqlashuvchi deb ataladi.
r_n = S - S_n songa qatorning qoldig`i deyiladi. Yaqinlashuvchi sonli qator uchun bo`ladi va demak yetarlicha katta n lar uchun S S_n o`rinli bo`ladi.
Misollar:
1) Ushbu geometrik progressiyaning hadlaridan tuzilgan sonli qator bo`lsa yaqinlashuvchi, yig`indisi bo`ladi, bo`lsa, uzoqlashuvchidir;
2)  sonli qator garmonik qator deyiladi va u uzoqlashuvchi qatordir.
3) Umumlashgan garmonik qator deb,

sonli qatorga aytiladi va bu sonli qator p  1 da uzoqlashuvchi, p > 1 da yaqinlashuvchidir.
Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning quyidagi asosiy xossalarini keltiramiz:
1⁰. Agar qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda istalgan chekli sonlardagi hadlarni tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi hadlarni qo`shish natijasida hosil bo`lgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi sonli qatorning har bir hadi, bir xil soniga ko`paytirilsa, u holda yig`indi soniga ko`paytiriladi; ya`ni

3⁰. Agar va qatorlar yaqinlashuvchi bo`lib, yig`indilari mos ravishda A va B ga teng bo`lsa, u holda sonli yig`indisi ham yaqinlashuvchi bo`lib, yig`indisi A B ga teng.
4⁰. (Yaqinlashuvchanlikning zaruriy alomati)
Agar sonli qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning umumiy hadi uchun shart bajariladi. Lekin bu alomat yetarli alomat bo`la olmaydi.
Agar bo`lsa, u holda berilgan sonli qator uzoqla-shuvchi bo`ladi.
Misollar.

1. 
   ushbu sonli qator uzoqlashuvchidir, chunki
   

2) quyidagi

sonli qator uzoqlashuvchi qator bo`ladi, chunki

mavjud emas.
Qator yaqinlashishining zaruriy sharti