Qatorlarni klassifikatsiyalash va ularni yaqinlashishga

3‑teorema.
a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ (1)
darajali qator butunlay yaqinlashish oralig’i ichida yotuvchi istalgan [‑p; p] kesmada kuchaytirilgandir.
Та’rif.Аgar hadlari musbat bo’lgan shunday
₁+₂+...+_n+... (1)
sonli yaqinlashuvchi qator mavjud bo’lib, х ning berilgan sohadan barcha qiymatlari uchun:
(2)
munosabat bajarilsa
u₁(x)+u₂(x)+...+u_n(x)+... (3)
funktsional qator х ning biror o’zgarish sohasida kuchaytirilgan qator deb ataladi.
Маsalan. qator butunОх o’qda kuchaytirilgan qatordir, chunki bunda n=1,2,3,... . Ма’lumki yaqinlashuvchi qatordir.
Та’rifdan ko’rinib turibdiki biror sohada kuchaytirilgan qator shu sohaning barcha nuqtalarida absolyut yaqinlashuvchidir.
Quyidagi teorema kuchaytirilgan qatorlarning xossasidir.
Теоrema.Аgar funktsional qator [a,b] kesmada kuchaytirilgan qator bo’lsa, u vaqtda har qancha kichik  son uchun shunday N musbat son topiladiki, barcha n N dа [a,b] kesmada olingan har qanday х uchun S(x)-S_n(x)< tengsizlik bajariladi, bunda S(x) qator yig’indisi, S_n(x) esa qatorning dastlabki n tа hadi yig’indisi.
Hadlari uzluksiz bo’lgan ba’zi qatorlarning yig’indisi uzlukdiz boshqalarniki esa uzlukli bo’ladi. Quyidagi teoremani yozish mumkin.
Теоrema. Biror [a,b] kesmada kuchaytirilgan bo’lgan uzluksiz funktsiyalar qatorining yig’indisi shu kesmada uzluksiz funktsiyadir.
Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Yaqinlashish radiusi.Yaqinlashuvchi darajali qatorlarning xossalari. Qatorlarni differensiallash va integrallash
Ta’rif. Quyidagi funksional qatorga darajali qator deyiladi:
, (1)
bu yerda - haqiqiy o’zgarmas sonlar. Bu sonlarni darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Darajali qator funksional qatorning xususiy holidir.
1. Har qanday darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi va shu nuqtada uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
2. Faqat nuqtada yaqinlashuvchi bo’lgan qatorlar mavjuddir. Masalan
. (2)
Haqiqatan ixtiyoriy son bo’lsin. Bu holda da ning biror qiymatidan boshlab miqdor tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, qatorning umumiy hadi tengsizlikni qanoatlantiradi.
da miqdor cheksiz kattalashgani uchun ham cheksiz kattalashadi. Bu holda
(3)
qator ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi bo’ladi.
3. oraliqning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo’lgan qatorlar ham mavjuddir.
Misol sifatida quyidagi qatorni ko’ramiz:
(4)
sonlar o’qining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin . orta borgani uchun shunday soni topiladiki barcha lar uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda (4) qatorni yaqinlashuvchi bo’lgan
(5)
qator bilan solishtirib (4) qatorni ixtiyoriy nuqtada absolyut yaqinlashuvchiligiga ishonch hosil qilish mumkin.