Qavslarni ochish ko'phad ko'paytuvchilarga ajratish ifodalarni soddalashtirish va birlashtirish o'xshash hadlarni ixchamlash kasrni irratsionallikdan qutqarish amallarini bajarish vositalari reja

QAVSLARNI OCHISH KO'PHAD KO'PAYTUVCHILARGA AJRATISH IFODALARNI SODDALASHTIRISH VA BIRLASHTIRISH O'XSHASH HADLARNI IXCHAMLASH KASRNI IRRATSIONALLIKDAN QUTQARISH AMALLARINI BAJARISH VOSITALARI
Reja:

1. 
   Ko`phad diskriminant ta’rifi.
   
2. 
   Ko`phad diskriminantini hisoblash.
   
3. 
   Ko`phad rezultanti.
   
4. 
   Ko`phad rezultantini hisoblash.
   

Р[x₁,x₂,....,x_n] ko`phadlar halqasida

ko`phadni qaraylik, uni Vandermond determinanti orqali ifodalash mumkin:

(1)
Shunday qilib,ushbu determinant o`zining ustunlariga nisbatan kososimmetrik funksiya bo`ladi, u holda -S_n o`rniga qo`yishning ishorasi bo`ladi. Bu holda simmetrik ko`phad bo`ladi va asosiy teoremaga ko`ra uni elementar simmetrik ko`phadlar orqali ifodalash mumkin:

Dis(s₁,…,s_n) s₁(x₁,....,x_n),....,s_n(x₁,....,x_n) larning ko`phadi bo`ladi va u x₁,...,x_n т\lar oilasini diskriminanti deyiladi. Ravshanki, uni koeffisientlari Z da yotadi. x_i o`rniga biror x<sub>i</sub><sup>0</sup> F i = 1,2,...,n larni qo`yish (F - Р maydonning biror kengaytmasi), F maydonning ixtiyoriy n elementlari to`plamini diskriminanti haqida gapirishga imkon beradi. Agar barcha x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>  F har xil bo`lmasa, u holda bu to`plam diskriminanti nolga teng bo`ladi. Chunki x_i-x_j ko`paytmalardan kamida bittasi nolga teng bo`ladi.

Diskriminantni hosil qilishning eng oson yo`li = (Ma`lumki, ixtiyoriy A matritsa uchun det ^tA = det A ) tenglikdan foydalanish. Matritsalarni ko`paytirishdan foydalanib quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(2)
bunda p<sub>k</sub> – ma`lum darajali yig`indi.p<sub>k</sub> larni ma`lum rekurent formulalardan topamiz:
p_k-p_k-1s₁+ p_k-2s₂+...+(-1)^k-1p₁s_k-1+ (-1)^kks_k = 0, agar 1  k  n bo`lsa; (3)
va
p<sub>k</sub>-p<sub>k-1</sub>s<sub>1</sub> + p<sub>k-2</sub>s<sub>2</sub> +....+ (-1)<sup>n-1</sup>p<sub>k-n+1</sub>s<sub>n-1</sub>+ (-1)<sup>n</sup> p<sub>k-n</sub>s<sub>n</sub> = 0, agar k > n bo`lsa; (4).
Natijada Dis (s₁,...,s_n) lar uchun oshkor ifodalarni hosil qilamiz Xususan,
p₁= s₁, p₂ = s₁²-2s₂, u holda
(4)
Ildizlari c₁,c₂,....,c_n lar biror Р maydondan yoki uning biror kengaytmasi.F maydondan olingan unitar
f(x) = xⁿ + a₁x^n-1 +....+a_n-1x + a_n P[x]
ko`phad berigan bo`lsin. Ma`lumki, Viet formulasiga ko`ra,
a_k= (-1)^ks_k(c₁,c₂,...,c_n).
Ta`rif. f ko`phadning с₁,....,c_n ildizlari to`plami diskriminanti Dis(s<sub>1</sub>,...,s<sub>n</sub>) da s<sub>k</sub> lar o`rinlariga mos ravishda (-1)^ka_k larni qo`yishdan hosil bo`lgan ifodaga f ko`phadning diskriminanti deyiladi va D(f) deb belgilanadi. U
f(x) = x<sup>n</sup> + a<sub>1</sub>x<sup>n-1</sup> +....+ a<sub>n-1</sub>x + a<sub>n</sub> = 0. (5)
algebraic tenglamaning diskriminanti ham deb ataladi. Ravshanki, D(f) P .
Tasdiq. D(f) = 0 bo`lganda va faqat shu holdagina (5) tenglama karrali ildizga ega bo`ladi( ya`ni birorta ildizining karraligi k > 1 bo`ladi).
(4) formulani kvadrat uchhadga qo`llash mumkin: f(x) = x² +ax+b bunda a, va b lar haqiqiy sonlar, u holda D(f) = a² - 4b – bo`ladi, bu bizga elementar matimatikadan ma`limb o`lgan ifoda. Xususan, D (f) ishora x<sup>2</sup>+ax+b =0 tenglamaning ildizlarini haqiqiy yoki kompleks qo`shma ekanligiga bog`liq. Misol sifatida to`la bo`lmagan kubik tenglamaning diskriminantini hisoblaymiz:
f(x) = x<sup>3</sup> +ax +b = 0.
Bu holda s<sub>4</sub> = 0 va p<sub>k</sub> lar rekurent formulalarga ko`ra p₁= s₁= 0,
p₂ = s₁²-2s₂ = -2a, p₃ = s₁³-3s₁s₂+3s₃ = -3b, p₄ = s₁⁴- 4s₁²s₂+4s₁s₃+2s₂² = 2a².
ravshanki, u holda (2) formulaga ko`ra