4-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechisning teskari matritsalar usuli Reja

4-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechisning teskari matritsalar usuli
Reja

1. 
   Teskari matritsa haqida tushuncha
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulda yechish algoritmi
   

1. Teskari matritsa haqida tushuncha
n – tartibli kvadratik A = (a_iκ) matritsa berilgan bo`lsin. Agar A matritsa determinanti noldan farq qilib, uning rangi tartibi n ga teng bo`lsa, matritsaga maxsusmas matritsa deyiladi. Agarda det(A) = 0 bo`lib, ran-gi n dan kichik bo`lsa, A matritsaga maxsus matritsa deyiladi.
Teorema. Ikki teng tartibli kvadrat matritsalarning ko`paytmasi, ko`paytuvchi matritsalarning har biri maxsusmas bo`lgandagina, maxsusmas matritsadan iborat bo`ladi.
To`g`ridan-to`g`ri ko`paytirish yo`li bilan n - tartibli birlik E va n –tartibli har qanday A matritsalarning o`zaro o`rin almashinuvchi ekanli-gini, ko`paytma A matritsani berishini, ya`ni AE = EA = A tengliklar o`rinli bo`lishini misollarda tekshirib ko`rish qiyin emas.
Berilgan A kvadratik matritsaning teskari matritsasi deb, tartibi A mat-ritsaning tartibiga teng va A matritsaga chapdan yoki o`ngdan ko`paytmasi birlik E matritsaga teng bo`lgan A^-1 matritsaga aytiladi: A^-1A = AA^-1 = E.
Yuqoridagi teoremaga asosan E birlik matritsaning maxsusmas ekanligini e`tiborga olsak, maxsus matritsaning teskari matritsaga ega emasligini xulosa qilamiz. Har qanday maxsusmas kvadrat matritsaning yagona teskari matritsasi mavjudligi quyidagi teoremadan kelib chiqadi.
Teorema. Teskari matritsa mavjud bo`lishi uchun det(A) ≠ 0 bo`lib, A matritsaning maxsusmas bo`lishi zarur va yetarli.
2. Teskari matritsa qurish algoritmlari
Berilgan maxsusmas kvadrat matritsaning teskari matritsasini qu-rishning «klassik» va Jordan usullari mavjud.
Berilgan A = (a_iκ) kvadratik matritsa har bir elementini o`zining ad`yunkti bilan almashtirib, so`ngra hosil bo`lgan matritsani transponirlasak, quyidagi A matritsa elementlari mos ad`yunktlari matritsasining transponirlangan matritsasi A^ ni hosil qilamiz:

A^ matritsaga A matritsaning qo`shma matritsasi deyiladi.
n- tartibli determinantning 6 va 7 xossalariga asosan:

Tenglikni ixcham shaklda AA^ = det AE ko`rinishda yozish mum-kin. Tenglamaning ikkala tomonini noldan farqli det A ga bo`lsak,
.
Ikkinchi tomondan teskari matritsa ta`rifiga binoan AA^-1 = E. Teng-lamalarni solishtirib, A kvadratik maxsusmas matritsaning teskari mat-ritsasi A^-1 uchun quyidagi formulani olamiz:

Oxirgi formula A maxsusmas matritsaning teskarisini qurish klassik usul formulasi deyiladi. Umuman olganda, klassik usulda teskari matritsa qurish jarayoni quyidagi ketma-ket bajariladigan qadamlarni o`z ichiga oladi:
1. Berilgan A kvadrat matritsa determinanti kattaligi hisoblanadi. Agar detA ≠ 0 bo`lsa, keyingi qadamga o`tiladi. Agarda detA = 0 bo`lsa, A matritsa maxsus va teskari matritsa mavjud emas;
2. A = (a_iκ) matritsa elementlarining mos ad`yunklari hisoblanadi va tartib saqlangan holda, matritsa elementlari mos ad`yunktlari matritsasi (A_iκ) tuziladi;
3. (A_iκ) matritsa transponirlanadi va A matritsa elementlari mos ad`yunklari matritsasining transponirlangan matritsasi yoki shuning o`zi qo`shma A<sup></sup> = (A<sub>κi</sub>) matritsasi tuziladi;
4. A<sup></sup> = (A<sub>κi</sub>) matritsa har bir elementi detA ga bo`linadi va A^-1 teskari matritsa quriladi.
Masala. maxsusmas matritsaning teskari matritsasini klassik usulda quring.
Klassik usulda ikkinchi tartibli maxsusmas matritsa teskarisi

formula asosida quriladi. Formulani qo`llab,

natijani olamiz. Teskari matritsa to`g`ri qurilganini ta`rif asosida tekshirib ko`ramiz:

Demak, berilgan A matritsaning teskarisi .
Berilgan A kvadratik matritsa teskarisi A^-1 Jordan usuli asosida quyidagicha quriladi: A matritsaga o`ngdan tartibi uning tartibiga teng birlik E matritsa qo`shiladi va kengaytirilgan (A | E) matritsa tuziladi. Parallel ravishda kengaytirilgan matritsaning chap va o`ng qismlari satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarilib, chap qism birlik matritsa ko`rinishiga keltiriladi. Kengaytirilgan matritsaning chap qismi birlik E matritsa ko`rinishiga keltirilganda uning o`ng qismida teskari A^-1 matritsa hosil bo`ladi. Teskari matritsa qurish Jordan usuli algoritmi quyidagi sxema shaklida ifodalanishi mumkin: (A | E) ~ (E | A<sup>-1</sup>).
Masala. matritsaning teskarisini Jordan usuli yordamida quramiz.
  
  
 .
Oxirgi ko`rinishdagi kengaytirilgan matritsa o`ng qismida teskari mat-ritsa shakli hosil bo`ldi. Teskari matritsa to`g`ri qurilganini ta`rif asosida tekshirib ko`rish mumkin.
Teskari matritsa o`zining quyidagi xossalariga ega:
1) (A^–1)^-1 = A; 2) (A^T )^–1 = (A^–1)^T; 3) (AV)^–1 = V^–1 A^–1.