Qoraqolpoq davlat universiteti

С(С(СА  B)  ( A  CB))  B \ A 1.16 ( A  B)  ( A  CB)  (CA  B)  A  B

A\B h`a`m B\A ko`pliklerinin` birigiwine A h`a`m B ko`pliklerinin` simmetrikalιq ayιrmasι deymiz h`a`m AB dep belgileymiz yag`nιy
AB  ( A \ B)  (B \ A)
Eki ko`plik ustinde a`meller
H`aqιyqιy sanlar ko`pligi.H`aqιyqιy sannin` absolyut ma`nisi

1⁰. Salar ko`pligi. Biz belgili, 1,2,3,...,n,...
belgileymiz h`a`m:
^{natural sanlar bolιp, olardι} N ^menen

^{N } ^{1, 2,3,..., n,...}^{, .
Usι sιyaqlι , 0,} 1,2,3,...,n,... <sup>putin sanlar dep atalιp, olar payda etken ko`plikti</sup> Z <sup>penen</sup> belgileymiz h`a`m:
<sup>Z </sup> <sup>0, 1, 2, 3,..., n,...</sup><sup>.</sup>
Eger sandι bo`lshek ko`rinisinde an`latιw mumkin bolsa (shekli yamasa sheksiz onlιq bo`lshek)

^p : p  Z , q  N q

(1)

.


bul san ratsional san dep ataladι,h`a`mde bunday salar ko`pligin Q menen belgileymiz:


Q  ^{ p} : p  Z ,
q
q  N ^

boladι.
 
Eki ratsional sanlar qosιndιsι,ayιrmasι,ko`beymesi h`a`m qatnasι la`ne ratsional san

terval1. O`zgarmas miqdorning hosilasi nolga teng, ya’ni agar y=c bo`lsa(c=const) y'=0 bo`ladi.
2. O‘zgarmas ko`paytuvchini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: y=cu(x) bo`lsa y'=cu'(x) bo`ladi.
3.Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig`indisining hosilasi shu funksiyalar hosilalarining yig`indisiga teng:
nazariyasi, cheksiz kichik miqdorlar va boshqa shu kabi tushunchalar asoschisi fransuz matematigi Avgustin Luiz Koshi (1789-1857) sharafiga Koshi ketma-ketliklari deb ataladi.²
Teorema 7.1.
Ixtiyoriy va haqiqiy sonlari uchun uchburchak tengsizligi:
.
Shuni e’tiborga olish kerakki, bu tengsizlik vektor fazolar uchun uchburchak tengsizligiga o’xshash, haqiqatdan ham fazo bir o’lchovli fazoning o’zi ekanligini tekshirib ko’rishingiz mumkin.
Isboti. Teorema haqiqatdan to’g’riligi tenglikdan kelib chiqadi, ya’ni agar va bir xil ishorali bo’lsa, yoki ulardan hech bo’lmaganda biri 0 ga teng bo’lsa. Agar va bo’lsa, lekin bo’lsa, u holda bo’ladi; shunga o’xshash, va bo’lsa, lekin bo’lgan hol isbotlanadi. Agar va bo’lsa, lekin bo’lsa, u holda bo’ladi; shunga o’xshash va bo’lsa, lekin bo’lgan hol isbotlanadi.
Teorema 7.2.
Haqiqiy sonlardan iborat ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun shunday haqiqiy soni mavjud bo’lib, bo’lishi zarur va yetarli. ³
Isboti. Aytaylik, ketma-ketlik ga yaqinlashsin va har bir
uchun ni qanoatlanadigan qilib tanlaylik. Uchburhak tengsizligiga ko’ra:
, . Bu esa ni Koshi ketma-ketligi ekanligini bildiradi.
Endi aytaylik, Koshi ketma-ketligi bo’lsin. Oson ko’rsatish mumkinki, yuqoridan qandaydir bilan chegaralangan. U holda har bir qism ketma-ketlik Koshi ketma-ketligi bo’ladi va yuqoridan bilan chegaralangan. Haqiqiy sonlar to’plamining to’laligiga ko’ra, har bir eng kichik yuqori chegara ga ega. Bundan tashqari, ketma-ketlik o’suvchi; ya’ni dan kelib chiqadi, chunki - uchun yuqori chegara, lekin eng kichik yuqori chegara emas. Demak, to’plam yuqori chegara ga ega, demak, u eng kichik yuqori chegara ga ega. Endi ni ko’rsatamiz.
uchun ketma-ketlik uchun yuqori chegara emasligini e’tiborga olsak, bundan bo’ladigan shunday mavjdligi kelib chiqadi. Biroq barcha lar uchun . Bundan esa barcha lar uchun ligi kelib chiqadi. Bu esa ning Koshi ketma-ketligi ekanligini bildiradi va u ga yaqinlashadi. Endi esa berilgan uchun ni barcha lar uchun bajariladigan qilib tanlaymiz va bajariladigan qilib ni tanlaymiz.
Demak, . Endi ni barcha lar uchun bajariladigan qilib tanlaymiz. So’ng lar uchun . Shu bilan isbot tugadi.
7.2. R da kompaktlik va uzluksizlik
Teorema 7.3.
Haqiqiy sonlar to’plamida lokal kompaktlik: Aytaylik, chegaralangan yopiq intervallar to’plami bo’lsin, bunda barcha lar uchun bo’lsin. U holda to’plam bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’ladi, ya’ni mavjud bo’ladi, ya’ni Agar ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo’lganida bo’lsa, u holda funktsiya nuqtada uzluksiz deyiladi. nuqtadagi uzluksizlikni boshqacha ta’rifi: har bir uchun shunday mavjud bo’lsaki, barcha lar uchun da bo’lishi. Boshqacha qilib aytganda, ga yaqin turganda, ga yaqin turadi. ⁴
Teorema 7.4.
Aytaylik, va bo’lsin.
Haqiqiy sonlar to’plamida lokal kompaktlik: Aytaylik, chegaralangan yopiq intervallar to’plami bo’lsin, bunda barcha lar uchun bo’lsin. U holda to’plam bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’ladi, ya’ni mavjud bo’ladi, ya’ni Agar ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo’lganida bo’lsa, u holda funktsiya nuqtada uzluksiz deyiladi. nuqtadagi uzluksizlikni boshqacha ta’rifi: har bir uchun shunday mavjud bo’lsaki, barcha lar uchun da bo’lishi. Boshqacha qilib aytganda, ga yaqin turganda, ga yaqin turadi. ⁴
Teorema 7.4.
Aytaylik, va bo’lsin.

Agar va lar da uzluksiz bo’lsa, u holda va lar ham da uzluksiz bo’ladi.

Agar va lar da uzluksiz bo’lsa va bo’lsa, u holda ham da uzluksiz bo’ladi.

O’zgarmas funktsiya hamma joyda uzluksiz bo’ladi.

Chiziqli funktsiya hamma joyda uzluksiz bo’ladi.

Ko’phad funktsiya hamma joyda uzluksiz bo’ladi.

Ko’phadning bo’linmasi ma’nosidagi ratsional funktsiya maxrajdagi ildizdan boshqa barcha nuqtalarda uzluksiz bo’ladi.

uchun ni yopiq interval deb ataymiz.

Quyidagi teoremaga ega bo’lamiz:

Teorema 7.5.
O’rta qiymat haqidagi teorema: Aytaylik, funktsiya intervalning barcha nqtalarida uzluksiz bo’lib, bo’lsin, u holda qandaydir mavjud bo’lib, bo’ladi.⁵

Teorema 7.6.
Boltsano –Veyershtrass teoremasi. Aytaylik, ketma-ketlik intervaldagi haqiqiy sonlar ketma-ketligi bo’lsin. U holda shunday va ga yaqinlashuvchi ( ning qism ketma-ketligi mavjud bo’ladi.
Isboti. Faraz qilaylik, ketma-ketlikning eng kichik yuqori chegarasi bo’lsin. U holda bo’ladi va -sekin o’sib boruvchi ketma-ketlik bo’ladi ( ya’ni u kamaymaydi, lekin doim o’sib boruvchi bo’lmaydi). Aytaylik, shu ketma-ketlikning eng kichik yqori chegarasi bo’lsin. U holda bo’ladi. Buni ko’rish uchun deb tanlash lozim. U holda shunday mavjud bo’ladiki, bo’ladi, ya’ni barcha larda bo’ladi. Bu esa ni bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.

Teorema 7.7. Agar funktsiya yopiq intervalda uzluksiz bo’lsa, u holda funktsiya ning dagi qiymatlarida o’zining maksimumi va minimumiga erishadi.
Isboti. Faraz qilaylik, ning eng kichik yuqori chegarasi bo’lsin. Ixtiyoriy musbat butun uchun ni tengsizlik bajariladigan qilib tanlaymiz. Shuning uchun bo’ladi. Boltsano-Veyershtrass teoremasiga ko’ra, biz deb olishimiz mumkin. Biroq, ning uzluksizligiga ko’ra, . Bu esa ni o’zining maksimumiga da erishishini ko’rsatadi. Teorema isbotining ikkinchi yarmi shu kabi usulda ko’rsatiladi.
№6 Mavzu: Funksiya differensiali