Qosimov f. M. Qosimova m. M

Funksiya limiti

Ta’rif 1. y=f(x) funksiyani b son bilan da cheksiz kichik bo’lgan y=a(x) funksiya yig’indisi ko’rinishida, ya’ni y=b+a(x) ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa, b son da bu funksiyaning limiti deyiladi va

ko’rinishda yoziladi.
1-xossa. Agar y=f(x) va y=g(x) funksiyalar da limitga ega bo’lsa, u holda f(x) +g(x) va f(x) x g(x) funksiyalar ham da limitga ega bo’ladi.

va

Qisqacha aytganda,yig’indi limiti limitlar yig’indisiga teng, ko’paytma limiti limitlar ko’paytmasiga teng.
2-xossa.Agar y=f(x) va y=g(x) funksiyalar da limitga ega bo’lsa, bunda ikkinchi limit noldan farqli bo’lsa, u holda

1-misol. ni hisoblaymiz. Yuqoridagi tasdiqlarga asosan
= =
Agar a nuqtada kasr-ratsional funksiyaning maxraji nolga aylansa va surati noldan farqli bo’lsa, x ning a ga yaqinlashgani sari funksiya qiymati modul bo’yicha juda katta bo’ladi. Bunda da funksiya cheksiz katta bo’ladi va lim = kabi yoziladi. Masalan,
.
Agar x a da surat ham, maxraj ham nolga aylansa, kasrning surat va maxraji ga qisqartirib, aynan aylantirish kerak.
2-misol: ni hisoblaymiz. Buning uchun surat va maxrajni ko’paytuvchilarga ajratib, kasrni x-3 ga qisqartiramiz:
= = = =-6.


Funksiya uzluksizligi

Ta’rif.Agar f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan va

bo’lsa, bu funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.
Shunday qilib,agar funksiyaning a nuqtadagi limiti mavjud bo’lib, funksiyaga argumentning qiymatini qo’yganda bu limitni hisoblash mumkin bo’lsa, funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bunday shart bajarilmaydigan nuqtalar funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi. Ko’p hollarda uzilish qismlarni ajratuvchi nuqtalarda (bu qismlarda funksiya turli analitik ifodalar bilan berilgan) yoki maxraj nolga aylanadigan nuqtalarda sodir bo’ladi. Bu uzluksiz funksiyalar haqida xossalardan kelib chiqadi.
1-xossa. Agar y=f(x) va y=g(x) funksiyalar a nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda y=f(x) + g(x) va y=f(x)g(x) funksiyalar ham bu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
2-xossa. Agar y=f(x) va y=g(x) funksiyalar a nuqtada uzluksiz bo’lsa va bunda g(a) 0 bo’lsa, y= funksiya ham bu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Bu tasdiqlardan ko’rinib turibdiki, agar funksiya y= ifoda bilan berilgan bo’lsa, bunda y=f(x) va y=g(x) funksiyalar uzluksiz, maxraj nolga aylanadigan nuqtalardagina uzilish sodir bo’ladi.
Masalan, y= funksiyaning uzilish nuqtasini topish uchun tenglamini yechish kerak: , 2 va 4 nuqtalar berilgan funksiyaning uzilish nuqtalaridir.
Tarif. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmaning barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, bu funksiya [a;b] kesmada uzluksiz deyiladi.
Kesmada uzluksiz bo’lgan funksiyalar qator muhim xossalarga ega.
3-xossa. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo’lsa, uning bu kesmada qiymatlari orasida eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud.
4-xossa. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo’lib, uning oxirlarida (uchlarida) turli ishorali qiymatlar qabul qilsa (masalan, f(x)<0, f(b)>0), bu funksiya [a;b] kesmaning qaysidir nuqtasida nolga aylanadi.
Misol. x -6x+3=0 tenglama [2;3] kesmada hech bo’lmaganda bitta ildizga ega. Shuni isbotlaymiz.
Haqiqatan, y=x -6x+3 uzluksiz funksiya bu kesmaning chap oxirida qiymatini, o’ng oxirida qiymatni qabul qiladi. Bu qiymatlar turli ishorali, shuning uchun funksiya [2;3] kesmada nolga aylanadi. Bu esa x -6x+3=0 tenglama bu kesmada hech bo’lmaganda bitta ildizga ega ekanligini anglatadi.