Qrup: 202 Müəllim

Zavodlar	B1	B2	B3	B4
Ehtiyyat
A1	10 x11	2 x12	20 x13	11 x14		15
A2	12 x21	7 x22	9 x23	20 x24		25
A3	4 x31	14 x32	16 x33	18 x34		10
Ehtiyyac	5	15	15	15		50=50

Uyğun cərimələri hesablayaq və üsulun alqaritmini addım-adım təkrarlayaq :

	B1	B2	B3	B4	Ehtiyyat
A1	10	2	20	11	15
A2	12	7	9	20	25
A3	4 5	14	16	18	10
Ehtiyyac	5	15	15	15

10-2=8

9-7=2

14-4=10

10-4=6 7-2=5 16-9=7 18-11=7

	B1	B2	B3	B4	Ehtiyyat
A1	10	2	20	11	15
A2	12	7	9	20	25
A3	4 5	14	16	18	5
Ehtiyyac	0	15	15	15

11-2=9

9-7=2

16-14=2

- 5 7 7

Üsulu davam etdirsək görərik ki , növbəti addımda ən böyük cərimə (20-11=9) olacaq və ona görə də x₂₃=15 götürürük.Nəticədə cədvəldən 3-cü sütun atılacaq.Cədvəldə 4-cü sütun qalacaq.Bu sütuna minimal element üsulunu tətbiq etməklə x₁₄ , x₃₄ , x₂₄ dəyişənləri üçün aşağıdakı qiymətləri alarıq :

x₁₄ =0 , x₃₄=5 , x₂₄=10

Bu qiymətləri nəqsəd funksiyasında yerinə yazsaq alarıq :

Z=15*2+0*11+15*9+10*20+5*4+5*18= 475 manat

Yuxarıda izah olunan üsullardan biri ilə ilkin bazis plan tapıldıqdan sonra optimal həllin tapılması mərhələsinə keçirik.Optimal həllin tapılması üçün potensiallar üsuluna baxaq :

Potensiallar üsulunun mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir.Tutaq ki , yuxarıdakı izah olunan üsulları biri ilə ilkin bazis planı tapmışıq :

x^*={x_ij^* , i=1,m, j=1,n}

U_B,U_H isə bu planın uyöun olaraq bazis və bazis olmyan xanalar çoxluğudur.Hər bir i sətrinə müəyyən u_i ədədini və hər bir j sütununa müəyyən v_j ədədini qarşı qoyaq . Bu zaman u_i (i=1..m) və v_j (j=1..n) uyğun olaraq A_i istehsalçının və B_jistehlakçının potensialları adlanır.Potensiallar elə seçilir ki , ixtiari doldurulmuş xanada onların cəmi uyğun c_ij ədədinə bərabər olsun , jəni

u_i + v_j =c_ij (i,j)€U_H

Butun potensialların sayı m+n doldurulmuş xanaların sayı (m+n-1)-ə bərabər olduğundan bu sistemin m+n məçhul və (m+n-1) tənlik var . Bu halda məchulların birini ixtiari seçə bilərik .Bununla da tənlik və məçhulların sayı bərabərləşərvə bi potnsialları təyi edə bilirik.Potensialları təyin etdikdən sonra aşağıdakı düstur vasitəsi ilə _ij(i,j)€U_H qimətləndirmələrini hesablaya bilərik

_ij=u_i+v_j-c_ij

Teorem

Əgər x^* bazis planına uyğun bütün bazis olmayan xanaların qiymətləndirmələri mübət deyilsə , yəni

≤0 , (i,j)€U_H

şərti ödənilirsə onda x^* optimal bazis plandır.

Əgər teoremin şərti ödənmirsə onda yeni bazis plana keçilir.Bunun qiymətləndirməsi ən ən böyük olan (i₀ , j₀) xanası seçilir

_i0,j0=max _ij (i,j)€U_H

Sonra (i₀,j₀) xanasının və U_B xanalarının köməyi ilə dövr qururuq.Bu dövrün təpələrinə (i₀,j₀) təpəsindən başlayaraq növbə ilə “+” və “-” işarələri yazırıq. Dövrün “ -” təpələrindəki yüklərdən ən kiçiyini tapırıq.Bu cür tapılmiş ən kiçik yükü “-” işarəli xanaların yüklərindən çıxırıq və “+” işarəli xanaların ( (i₀,j₀) xanası daxil olmaqla ) yüklərinə əlavə edirik.Nəticədə ən kiçik yükə uyğun xana boşalır , (i₀,j₀) xanası doldurulur və yeni bazis plan tapılır.İzah olunan prosesi bu bazis plan üçün təkrar edirik və optimallıq şərtini yoxlayırıq.

Beləliklə nəqliyyat məsələsinin həlli üçün potensiallar üsulunun alqaritmi aşağıdakı kimidir :

1. 
   Yuxarıda izah olunan üsulların biri ilə başlangıc bazis plan tapmaqş
   
2. 
   u_i + v_j =c_ij (i,j)€U_H tənliklər sistemini həll edərək istehsalçıların və istehlakçıların u_i , v_j potensiallarını hesablamaq.
   
3. 
   _ij=u_i+v_j-c_ij düsturu vasitəsi ilə bazis olmayan xanalar üçün _ij (i,j) €U_H qiymətləndirmələrini (xarakteristikalarını) hesablamaq
   

1. 
   Əgər ≤0 , (i,j)€U_H şərti ödənilirsə , onda onda tapılmış bazis plan nəqliyyat məsələsinin optimal planıdır.
   
2. 
   Əgər ≤0 , (i,j)€U_H şərti ödənilmirsə _i0,j0=max _ij (i,j)€U_H düsturu vasıtəsi ilə (i₀,j₀) €U_H xanası tapılır və izah olunan qayda ilə yeni bazis plan qurulur. Proses
   

≤0 , (i,j)€U_H

Optimallıq şərti odənilənə kimi davam etdirilir.

Potensiallar üsulunun tətbiqi ilə bir misala baxaq.Yuxarıda Foqel üsuıu ilə ilkin

bazis həllini tapdığız misala baxaq.Yuxarıdan göründüyü kimi ilkin bazis həllə uyğun funksiyanın qiyməti

Z=15*2+0*11+15*9+10*20+5*4+5*18=475

kimidir.Bu bazis plan üçun

u_i + v_j =c_ij (i,j)€U_H

tənliklər sistemini yazaq :

u₁+v₁=10

u₁+v₂=2

u₂+v₂=7

u₂+v₃=9

u₂+v₄=20

u₃+v₄=18

Göründüyü kimi burada dəyişənlərin sayı tənliklərin sayından 1 vahid azdır.Ona görə də potensiallardan birini ixtiari seçə bilərik :

u₁=0; v₁=10;

u₁=0; v₂=10;

v₂=0; u₂=5;

u₂=5; v₃=4 ;

u₂=5; v₄=15 ;

v₄=15; u₃=3 ;

Boş xanaların qiymətləndirmələrini hesablayaq

₁₃=u₁+v₃-c₁₃=0+4-20=-16

₁₄=u₁+v₄-c₁₄=0+15-11=4

₂₁=u₂+v₁-c₂₁=5+10-12=3

₃₁=u₃+v₁-c₃₁=3+10-4=9

₃₂=u₃+v₂-c₃₂=3+2-14=-9

₃₃=u₃+v₃-c₃₃=3+4-16=-9

Buradan göründüyü kimi xarakteristikaların hamısı mənfi deyil ona görə də buxarakteristikalardan ən böyüyü ₃₁=9 -dur.Bu xana üçün dövr quraq :

	v1=10	v2=2	v3=4	v4=15	Ehtiyyat
u1=0	10 5-0 -	2 10+0 +	20 -16	11 -4	15
u2=5	12 3	7 5-0 -	9 15	20 5+0 +	25
u3=3	4 0 +	14 -9	16 -9	18 10 -0 -	10
Ehtiyyac	5	15	15	15

Bu prosesi davam etdirsək

	v1=10	v2=2	v3=4	v4=15	Ehtiyyat
u1=0	10 -9	2 15-0 -	20 -16	11 0 4	15
u2=5	12 -6	7 0+0 +	9 15	20 10-0 -	25
u3=3	4 5	14 -9	16 -9	18 5	10
Ehtiyyac	5	15	15	15

Ədəbiyyat siyahısı

1. 
   B.S. Musayev, Ş. Səmədzadə - planlaşdırmanın riyazi üsulları və modelləri, Bakı 1973
   
2. 
   M.Y.Hacızalov, B.Ə.Muxtarov, İ.B. Əliyev planlaşdırmada riyazi üsullar və modellər, Bakı 1983
   
3. 
   Y. Hacızalov, Y. Kərimova L.Hüseynova Ekonometrika: nəzəriyyə və praktikum Bakı 2012
   
4. 
   Таха Х. А. Введение в исследование операций. М. 2001, 912 стр.
   
5. 
   Кузнецов А.В., Холод Н.И. Руководство к решению задач по математическому программированию. 1978 ,448 стр.
   
6. 
   Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. 1986, 319 стр.
   
7. 
   Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. М., 2002, 407стр.
   
8. 
   Гермейер.Ю.Б. Введение в теорию исследования операций,М. Наука 1971, 383 стр.
   
9. 
   Вагнер. Г.Основы исследования операций. Т.1.2, 1972,336 стр.
   
10. 
    Шикин Е.В., Чхарташвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. Учебное пособие М., 2000,440 стр.
    
11. 
    О.О.Замков, А.В.Толстопятенько, Ю.Н.Черемных. Математические методы в экономике.Учебник, М.,2001,369 стр.