Raqamli texnologiyalar vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti nukus filiali

Misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching:


Yechish: Sistemaning

matritsasi maхsus emas, chunki detA=-2¹0. Biriktirilgan matritsasi

ko`rinishga ega. U holda teskari matritsa


bo`ladi va niхoyat,

.

Bundan, х₁=2, х₂=-1, х₃=1 ekanligini hosil qilamiz.

Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:

Demak, ekan.

Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo`lib, uning matritsasi хosmas, ya`ni D=det¹0 bo`lsa, u holda bunday sistema yagona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,¼,0) yechimga ega bo`ladi. Haqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo`lgani uchun D<sub>i</sub>, i=1,2,¼,n determinantlar nolga teng bo`ladi, Kramer formulalariga asosan esa х₁=0, х₂=0,¼х_n=0 ekanligi kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli, ya`ni kamida bitta komponentasi nolga teng bo`lmagan, x=(x₁,¼,x_n) yechimga ega bo`lishi uchun uning matritsasi хos bo`lishi shart (D=0).

3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini yechish.
Bunda umuman n=m bo`lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidagi matritsa

kenjaytirilgan matritsa deb ataladi.

Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo`lishi uchun rangA= rang`A bo`lishi zarur va etarlidir.
Zarurligi: Faraz qilaylik, (4.1) sistema birjalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`lgani uchun A matritsaga`A matritsaga ham tejishli bo`lgan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. Shuning uchun r(`A)³k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga teng ekanligini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmagan holda bu minor

deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenglamalarini va noma’lumlarini joyini almashtirib shu holga olib kelsa bo`ladi. Shartga ko`ra (4.1) sistema birgalikda, shuning uchun shunday x=(x₁,¼,x_n) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenglamasini ham qanoatlantiradi. U holda

(4.5)

bu yerda
(4.6)

(5) asosida quyidagi
(4.7)

sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birgalikda, chunki uni noldan farqli y=(x₁,¼,x_k,1) yechim qanoatlantiradi. U holda ( 4.2 bo`limdagi eslatmaga qarang) bir jinsli (4.7) sistemaning determinanti nolga teng, ya`ni

chunki r(A)=k bo`lgani uchun yig`indiga kiruvchi barcha determinantlar nolga teng. Demak, r( )=k ekan.
Yetarliligi: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birgalikda ekanligini isbot qilish kerak. Qilingan farazga ko`ra, sistemaning shunday k ta tenglamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan k-tartibli determinanti noldan farqlidir.

Tenglamaning birinchi qismida qilinganidek, umumiylikni buzmagan holda bu aynan

(8)
tenjlamalar deb faraz qilish mumkin. Shartga ko`ra, uning uchun

(8) sistemani quyidagicha yozib olamiz:

(9)

s¹0 bo`lgani uchun bu sistema yagona yechimga ega va uni Kramer formulalari yordamida topish mumkin: