Ratsional va irratsional sonlar, haqiqiy sonlar, sonning absalyut qiymati va uning xossalari

KRONEKER-KAPELLI TEOREMASI VA UNING ISBOTI
talabalarda tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lish yoki bo`lmasligining shartlari haqida bilim va ko`nikmalarni shakllantirish.
Bizga maydon

(1)

tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lib,

(2)
asosiy va

(3)
kengaytirilgan matrisalar bo’lsin. Bu matrisalarning rangini qulaylik uchun va shaklda belgilab olamiz.

Lemma: Chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matrisaning ranglar teng yoki bittaga ortiq.

Isbot. Haqiqatan ham ning noldan farqli eng katta minori da ham noldan farqli minor bo’ladi.

Agar bu minor da ham noldan farqli eng katta minor bo’lsa, uning ranglari teng bo’ladi. Keyingi tartibli minor ozod usutuni o’z ichiga oluqchi tartibli minor bo’lib, bu noldan farqli bo’lsa, bo’ladi. Lemma isbot bo’ldi.

Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish masalasi quyidagi Kroneker –Kapelli deb nomlanuvchi teorema orqali to’la hal qilinadi:
Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi)
Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi.

Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin.

U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir
ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak
va vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni .
Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda lemmaga asosan martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak lar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.
Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz:
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi.
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi.

Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak.

Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.
Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan takomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlarini topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish yebilan shugulanamiz.
Endi bu o’tgan ma’ruazalardagi ma’lumotlarni eslaymiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar almashtirishlari deb nimaga aytiladi?
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasizlar?
Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?
Matrisaning rangi haqidagi teorema qanday ifodalanadi?
Matrisaning rangi qanday yo’llar bilan topiladi?
A va B matrisalarning ranglari haqida nima deyish mumkin, ya’ni ular tengmi yoki qaysi birining rangi katta?
Qanday o’ylasizlar, A va B matrisalarning ranglari bilan (1) sistemaning birgalikda yechimi bo’ladi.
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHDA GAUSS USULI

Chiziqli tenglama — bu ikkala tomoni ham birinchi darajali (nomaʼlum) koʻphadlardan iborat tenglamadir.

Chiziqli tenglamalar (matematikada) — nomaʼlumlarning faqat birinchi darajalari aniq koeffitsiyentlar bilan qatnashib, ularning yuqori darajalari, oʻzaro koʻpaytmalari va murakkab funksiyalari qatnashmagan tenglamalar. Bir nomaʼlumli Chiziqli tenglamalar ax= koʻrinishda boʻladi. Bir necha nomaʼlumli hollarda esa Chiziqli tenglamalar sistemalari bilan ish koʻriladi. Aniqlovchi va matritsa toʻgʻrisidagi taʼlimotlar paydo boʻlganidan keyin Chiziqli tenglamalar nazariyasi rivojlandi. Chiziqlilik tushunchasi algebraik tenglamalardan matematikaning boshqa sohalaridagi tengliklarga koʻchiriladi. Masalan, chiziqli differensial tenglama nomaʼlum funksiya va uning hosilalari chiziqli, yaʼni 1-darajaliga kiradigan tenglamadir.
Chiziqli tenglamani quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin: ax + b = 0, bu yerda a - nol boʻlmagan son, b - ozod had.
Bir x oʻzgaruvchili chiziqli tenglama deb ax=b (bu erda a va b – haqiqiy sonlar) koʻrinishidagi tenglamaga aytiladi. Bu yerda a – oʻzgaruvchi oldidagi koeffitsient, b esa ozod had deyiladi.ax = b chiziqli tenglama uchun uchta hol roʻy berishi mumkin:
a ≠ 0; bu holda tenglama ildizi
�=−��
ga teng;
a=0, b=0; bu holda tenglama 0*x=0 ko’rinishga keladi va har qanday x da to’g’ri bo’ladi;

a=0, b≠0; bu holda tenglama 0*x=b ko’rinishga keladi va ildizga ega bo’lmaydi.

Lineer algebrada Gauss usuli SLEni echishning klassik usuli hisoblanadi. U 18-19 asrlarda yashagan Karl Fridrix Gauss nomi bilan atalgan. U barcha zamonlarning eng buyuk matematiklaridan biridir. Gauss usulining mohiyati chiziqli algebraik tenglamalar tizimi orqali elementar o'zgarishlarni amalga oshirishdan iborat. Transformatsiyalar yordamida SLN uchburchak (pog'onali) shaklning ekvivalent tizimiga tushiriladi, undan barcha o'zgaruvchilarni topish mumkin.
Shuni ta'kidlash kerakki, Karl Fridrix Gauss chiziqli tenglamalar tizimini echishning klassik usulini kashf etuvchi emas. Usul ancha oldin ixtiro qilingan. Uning birinchi tavsifi qadimgi xitoy matematiklarining bilimlari ensiklopediyasida "Matematik 9 ta kitobda" deb nomlangan. To'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli yordamida biz tizimni pog'onali shaklga tushiramiz, lekin avval raqamli koeffitsientlar va erkin atamalarning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.
Matritsani Gauss usuli bilan hal qilish uchun (ya'ni uni pog'onali shaklga keltirish uchun) ketma-ket ikkinchi va uchinchi qator elementlaridan birinchi qator elementlarini chiqaramiz. Biz "etakchi" element ostida birinchi ustunda nollarni olamiz. Keling, qulaylik uchun ikkinchi va uchinchi qatorlarni joylarda o'zgartiring. Oxirgi satr elementlariga biz ketma-ket ikkinchi qator elementlarini 3 ga ko'paytiramiz.
Matritsani Gauss usuli bilan hisoblash natijasida biz pog'onali elementlar massivini oldik. Uning asosida biz chiziqli tenglamalarning yangi tizimini tuzamiz. Gauss usulining teskari yo'nalishi bo'yicha biz noma'lum atamalarning qiymatlarini topamiz. Oxirgi chiziqli tenglamadan x ko'rinib turibdi3 tengdir 1. Ushbu qiymatni tizimning ikkinchi qatoriga qo'ying. Tenglama x ga teng2 - 4 = –4. Demak, x2 0 ga teng2 va x3 tizimning birinchi tenglamasiga: x1 + 0 +3 = 2. Noma'lum atama –1.
ad

Javob: matritsa, Gauss usuli yordamida biz noma'lumlarning qiymatlarini topdik; x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1.

Gauss - Iordaniya usuli
ad
Chiziqli algebrada Gauss-Jordan usuli kabi tushunchalar ham mavjud. U Gauss usulining modifikatsiyasi deb hisoblanadi va teskari matritsani topishda, algebraik chiziqli tenglamalarning kvadratik tizimlarining noma'lum hadlarini hisoblashda ishlatiladi. Gauss - Iordaniya usuli SLNlarni bir bosqichda (oldinga va orqaga harakatlarni ishlatmasdan) echishga imkon beradiganligi bilan qulaydir.
Keling, "teskari matritsa" atamasidan boshlaymiz. Bizda A matritsasi bor deylik, uning teskarisi A matritsasi-1, va shart bajarilishi kerak: A × A-1 = A-1 × A = E, ya'ni bu matritsalarning ko'paytmasi identifikatsiya matritsasiga teng (identifikatsiya matritsasi uchun asosiy diagonal elementlari birlik, qolgan elementlari esa nolga teng).
Muhim nuance: chiziqli algebrada teskari matritsa mavjudligi haqidagi teorema mavjud. A matritsaning mavjudligi uchun etarli va zaruriy shart-1 - A matritsaning noaniqligi, agar noaniqlik bo'lsa, det A (determinant) nolga teng emas.