Ratsional va irratsional sonlar, haqiqiy sonlar, sonning absalyut qiymati va uning xossalari

MUHIM LIMITLAR VA FUNKSIYA LIMITINI HISOBLASH
Kategoriya J deb o'ylashadi indeks toifasi va diagramma F ob'ektlar to'plamini indekslash va morfizmlar yilda C naqshli J.
Kategoriya qaerda bo'lganligi ko'pincha odamni qiziqtiradi J a kichik yoki hatto cheklangan toifasi. Diagramma deyiladi kichik yoki cheklangan har doim J bu.
Cheklovlar
Ruxsat bering F : J → C shaklning diagrammasi bo'lishi J toifada C. A konus ga F ob'ektdir N ning C oila bilan birga ψX : N → F(X) ob'ektlar tomonidan indekslangan morfizmlar X ning J, har bir morfizm uchun shunday f : X → Y yilda J, bizda ... bor F(f) ∘ ψX = ψY.
A chegara diagrammaning F : J → C konus (L,  ) ga F har bir boshqa konus uchun (N, ψ) ga F mavjud a noyob morfizm siz : N → L shu kabi  X ∘ siz = ψX Barcha uchun X yilda J
Biri konusning (N, ψ) konus orqali omillar (L,  noyob faktorizatsiya bilan siz. Morfizm siz ba'zan deb nomlanadi vositachilik morfizmi.
Cheklovlar deb ham ataladi universal konuslar, chunki ular a bilan tavsiflanadi universal mulk (qo'shimcha ma'lumot olish uchun pastga qarang). Har qanday universal mulkda bo'lgani kabi, yuqoridagi ta'rif ham umumiylikning muvozanatli holatini tavsiflaydi: Chegara ob'ekti L har qanday boshqa konusning u orqali faktor qilishiga imkon beradigan darajada umumiy bo'lishi kerak; boshqa tarafdan, L etarli darajada aniq bo'lishi kerak, shuning uchun faqat bitta har qanday konus uchun bunday faktorizatsiya qilish mumkin.
Cheklovlar quyidagicha tavsiflanishi mumkin terminal moslamalari ichida konusning toifasi ga F.
Diagrammada umuman chegara bo'lmasligi mumkin. Ammo, agar diagrammada chegara bo'lsa, unda bu chegara aslida noyobdir: u noyobdir qadar noyob izomorfizm. Shu sababli ko'pincha odam gapiradi The chegarasi F.
Kolimitlar
Shuningdek qarang: To'g'ridan-to'g'ri chegara
The ikkilangan tushunchalar chegaralar va konuslar kolimitalar va ko-konuslardir. Yuqoridagi ta'riflardagi barcha morfizmlarni teskari yo'naltirish orqali ularning ta'riflarini olish to'g'ridan-to'g'ri bo'lsa ham, biz ularni bu erda aniq bayon qilamiz:
A konus diagrammaning F : J → C ob'ektdir N ning C morfizmlar oilasi bilan birgalikda

har bir ob'ekt uchun X ning J, har bir morfizm uchun shunday f : X → Y yilda J, bizda ... bor ψY ∘ F(f) = ψX.
A kolimit diagrammaning F : J → C konusning (L,  ) ning F har qanday boshqa konusning uchun (N, ψ) ning F noyob morfizm mavjud siz : L → N shu kabi siz o  X = ψX Barcha uchun X yilda J.
Kolimitlar deb ham yuritiladi universal konuslar. Ular quyidagicha tavsiflanishi mumkin boshlang'ich ob'ektlar ichida konusning toifasi dan F.
Chegaralar singari, agar diagramma bo'lsa F kolimitga ega bo'lsa, unda bu kolimit noyob izomorfizmgacha noyobdir.
O'zgarishlar
Diagrammalardan foydalanmasdan ob'ektlar va morfizmlar to'plamlari uchun chegaralar va kolimitlar ham aniqlanishi mumkin. Ta'riflar bir xil (yuqoridagi ta'riflarda biz hech qachon morfizmlarning tarkibini ishlatishga hojat yo'qligini unutmang J). Biroq, bu o'zgarish yangi ma'lumot qo'shmaydi. Ob'ektlar va morfizmlarning har qanday to'plami (katta bo'lishi mumkin) yo'naltirilgan grafik G. Agar biz ruxsat bersak J bo'lishi bepul kategoriya tomonidan yaratilgan G, universal diagramma mavjud F : J → C uning tasviri o'z ichiga oladi G. Ushbu diagrammaning chegarasi (yoki kolimiti) ob'ektlar va morfizmlarning asl to'plamining chegarasi (yoki kolimitasi) bilan bir xil.
Zaif chegara va zaif kolimitlar chegaralar va kolimitlar kabi belgilanadi, faqat vositachilik morfizmining o'ziga xos xususiyati tashlanadi.
Misollar
Cheklovlar
Chegaralarning ta'rifi amaliy sharoitlarda foydali bo'lgan bir nechta konstruktsiyalarni yig'ish uchun etarlicha umumiydir. Quyida biz limitni ko'rib chiqamiz (L, φ) diagrammaning F : J → C.
Terminal ob'ektlari. Agar J bu bo'sh kategoriya, faqat bitta shakl diagrammasi mavjud J: bo'sh (o'xshashga o'xshash) bo'sh funktsiya to'plam nazariyasida). Bo'sh diagrammadagi konus aslida shunchaki ob'ektdir C. Chegarasi F har qanday boshqa ob'ekt tomonidan noyob tarzda aniqlangan har qanday ob'ekt. Bu faqat a ta'rifi terminal ob'ekti.
Mahsulotlar. Agar J a diskret kategoriya keyin diagramma F aslida a dan boshqa narsa emas oila ob'ektlarining C, tomonidan indekslangan J. Chegara L ning F deyiladi mahsulot ushbu ob'ektlarning. Konus φ morfizmlar turkumidan iborat φX : L → F(X) deb nomlangan proektsiyalar mahsulot. In to'plamlar toifasi, masalan, mahsulotlar tomonidan berilgan Kartezian mahsulotlari va proektsiyalar faqat turli xil omillarga bog'liq tabiiy proektsiyalardir.
Kuchlar. Diagramma mahsulotning alohida holatidir F ob'ekt uchun doimiy funktsiyadir X ning C. Ushbu diagrammaning chegarasi deyiladi Jth kuch ning X va belgilangan XJ.