Reja: Aniq integral

5. Aylanma jismning hajmi


egri chiziq Ox o’q va x=a, x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismni qaraylik. Bu jismni abstsissalar o’qiga perpendikulyar tekislik bilan kesishshidan hosil bo’lgan ixtiyoriy kesim doira bo’ladi. Uning yuzi

Hajmni hisoblash (9) umumiy formulasini tatbiq etib, aylanma jismning hajmini hisoblash formulasini hosil qilamiz:

(10)
Misol. ellipsni OX va OY o’qlari atrofida aylantirish natijasida hosil qilingan jismlarning hajmlarini hisoblang.
Yechish. Ellips tenglamasidan:

Ellipsni OX o’qi atrofida aylantirishdan hosil bo’lgan jismning hajmi:

(kub birl)
Ellipsni OY o’qi atrofida aylantirishdan hosil bo’lgan jismning hajmi:

(kub birl.)


6. Aniq integralni mexanikaga tatbiqi. Jismni aniq integral yordamida hisoblash.

Biror F kuch ta’siri ostida M moddiy nuqta OS to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilsin, bunda kuchning yo’nalishi harakat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. M nuqta S=a holatdan S=b holatga ko’chganda F kuchning bajargan ishni topilsin.

1) Agar F kuch o’zgarmas bo’lsa, u holda A ish F kuch bilan o’tilgan yo’l uzunligi ko’paytmasi bilan ifodalanadi:
A=F(b-a)
2) F kuch moddiy nuqtaning olgan o’rniga qarab uzluksiz o’zgaradi, ya’ni [a, b] kesmani uzunliklari
bo’lgan n ta ixtiyoriy bo’lakka bo’lamiz. Har bir [S_i-1, S_i] qismiy kesmada ixtiyoriy nuqta tanlab olib, F(S) kuchning yo’lda bajargan ishini ko’paytma bilan almashtiramiz. Oxirgi ifoda yetarlicha kichik bo’lganda F kuchning yo’lda bajargan ishning taqribiy qiymatini beradi.

Yig’indi F kuchning [a, b] kesmada bajargan ishning taqribiy ifodasi bo’ladi. Bu yig’indining dagi limiti F(S) kuchning S=a nuqtadan S=b nuqtagacha bo’lgan yo’lda bajargan ishini ifodalaydi:
(11)
Misol. Agar prujina 1 N kuch ostida 1 sm cho’zilishi ma’lum bo’lsa, uni 4 sm cho’zish uchun qancha ish bajarish kerak?
Yechish. Guk qonuniga ko’ra prujinani x m ga cho’zuvchi kuch F=kx;
Agar x=0,01 m va F=1 N ekanligini hisobga olsak, u holda k=F/x=1/0,01=100 kelib chiqadi.
Demak, F=100x. Bajarilgan ish ekanligini hisobgan olsak
(j)