Reja: Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari 2
Boshqa ko`rinishdagi aniqmasliklar
Yüklə 0,58 Mb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2. Teylor formulasi
|
3. Boshqa ko`rinishdagi aniqmasliklar. Ma`lumki, bo`lganda f(x)×g(x) ifoda 0×¥ ko`rinishidagi aniqmaslik bo`lib, uning quyidagi
kabi yozish orqali yoki ko`rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shuningdek, bo`lganda f(x)-g(x) ifoda ¥-¥ ko`rinishidagi aniqmaslik bo`lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib ko`rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Ma`lumki, x®a da f(x) funksiya 1, 0 va ¥ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda ¥, 0 va 0 intilganda (f(x))g(x) darajali-ko`rsatkichli ifoda 1¥, 00, ¥0 ko`rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko`rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x))g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x)×ln(f(x)). Bunda x®a da g(x)ln(f(x)) ifoda 0×¥ ko`rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0×¥, ¥-¥, 1¥, 00, ¥0, ko`rinishdagi aniqmasliklarni ochiщda, ularni yoki ko`rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so`ng yuqoridagi teoremalar qo`llaniladi. 2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f`(x) va g`(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda tengliklar o`rinli bo`ladi, ya`ni bu holda Lopital qoidasini takror qo`llanish mumkin bo`ladi. Misol. Ushbu limitni hisoblang. Yechish. Ravshanki, x®0 da ifoda 1¥ ko`rinishdagi aniqmaslik bo`ladi. Uni logarifmlab, aniqmaslikni ochishga keltiramiz: Demak, . 2. Teylor formulasi Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo`lib, ko`plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi. Teylor ko`phadi. Peano ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma`lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma`nosida ko`phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko`phad bilan almashtirish muammosi paydo bo`ladi. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta`rifiga ko`ra agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini Df(x0)=f`(x0)Dx+o(Dx), ya`ni f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+o(x-x0) ko`rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (3.1) ko`phad mavjud bo`lib, x®x0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo`ladi. Shuningdek, bu ko`phad P1(x0)=f(x0), P1`(x0)=b=f`(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi. Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f`(x), f``(x), ..., f(n)(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda f(x)=Pn(x)+o(x-x0) (3.2) shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo`lmagan Pn(x) ko`phad mavjudmi? Bunday ko`phadni Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ ... +bn(x-x0)n, (3.3) ko`rinishda izlaymiz. Noma`lum bo`lgan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlarni topishda Yüklə 0,58 Mb. Dostları ilə paylaş:
|