Reja: Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari 2

P_n(x₀)=f(x₀), P_n`(x<sub>0</sub>)=f`(x₀), P_n``(x<sub>0</sub>)=f``(x₀), ..., P_n⁽ⁿ⁾(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀) (3.4)
shartlardan foydalanamiz. Avval P_n(x) ko`phadning hosilalarini topamiz:
P<sub>n</sub>`(x)=b₁+2b₂(x-x₀)+3b₃(x-x₀)²+ ... +nb_n(x-x₀)^n-1,
P_n``(x)=2×1b<sub>2</sub>+3×2b<sub>3</sub>(x-x<sub>0</sub>)+ ... +n×(n-1)b<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n-2</sup>,
P<sub>n</sub>```(x)=3×2×1b<sub>3</sub>+ ... +n×(n-1)×(n-2)b<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n-3</sup>,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
P<sub>n</sub><sup>(n)</sup>(x)=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1b<sub>n</sub>.
Yuqorida olingan tengliklar va (3.3) tenglikning har ikkala tomoniga x o`rniga x<sub>0</sub> ni qo`yib barcha b<sub>0</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub> koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
P<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>)=f(x<sub>0</sub>)=b<sub>0</sub>,
P<sub>n</sub>`(x<sub>0</sub>)=f`(x<sub>0</sub>)=b<sub>1</sub>,
P<sub>n</sub>``(x₀)=f``(x<sub>0</sub>)=2×1b<sub>2</sub>=2!b<sub>2</sub>,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P<sub>n</sub><sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)=f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)=n×(n-1)×...×2×1b<sub>n</sub>=n!b<sub>n</sub>
Bulardan b<sub>0</sub>=f(x<sub>0</sub>), b<sub>1</sub>=f`(x<sub>0</sub>), b<sub>2</sub>= f``(x₀), . . ., b_n= f⁽ⁿ⁾(x₀) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3.3) qo`yamiz va
P<sub>n</sub>(x)= f(x<sub>0</sub>)+ f`(x₀)(x-x₀)+ f``(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+ ... + f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>, (3.5)
ko`rinishda ko`phadni hosil qilamiz. Bu ko`phad Teylor ko`phadi deb ataladi.
Teylor ko`phadi (3.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko`phadi ayirmasini R<sub>n</sub>(x) orqali belgilaymiz: R<sub>n</sub>(x)=f(x)-P<sub>n</sub>(x). (3.4) shartlardan R<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>)=R<sub>n</sub>`(x<sub>0</sub>)=...= R<sub>n</sub><sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)=0 bo`lishi kelib chiqadi.
Endi R<sub>n</sub>(x)=o((x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>), ya`ni =0 ekanligini ko`rsatamiz. Agar x®x<sub>0</sub> bo`lsa, ifodaning 0/0 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko`rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
= =…= =
= = =0, demak x®x<sub>0</sub> da R<sub>n</sub>(x)=o((x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) o`rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema. Agar y=f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofida n marta differensiallanuvchi bo`lsa, u holda x®x<sub>0</sub> da quyidagi formula
f(x)= f(x<sub>0</sub>)+ f`(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)+ f``(x₀)(x-x₀)²+ ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ+o((x-x₀)ⁿ) (3.6)
o`rinli bo`ladi, bu yerda R_n(x)=o((x-x₀)ⁿ) Peano ko`rinishidagi qoldiq had.
Agar (3.6) formulada x<sub>0</sub>=0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo`ladi:
f(x)=f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x<sup>2</sup>+ ... + f<sup>(n)</sup>(0)x<sup>n</sup>+o(x<sup>n</sup>). (3.7)
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.
Teylor formulasining Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadi. Teylor formulasi R_n(x) qoldiq hadi yozilishining turli ko`rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko`rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan f(x) funksiya x₀ nuqta atrofida n+1 –tartibli hosilaga ega bo`lsin deb talab qilamiz va yangi g(x)=(x-x<sub>0</sub>)<sup>n+1</sup> funksiyani kiritamiz. Ravshanki,
g(x<sub>0</sub>)=g`(x₀)=...= g⁽ⁿ⁾(x₀)=0; g⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)=(n+1)!¹0.
Ushbu R_n(x)=f(x)-P_n(x) va g(x)=(x-x₀)ⁿ⁺¹ funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda R_n(x₀)= R_n`(x<sub>0</sub>)=...= R<sub>n</sub><sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)=0 e`tiborga olib, quyidagini topamiz:



,
bu yerda c₁Î(x₀;x); c₂Î(x₀;c₁); ... ; c_nÎ(x₀;c_n-1); xÎ(x₀;c_n)Ì (x₀;x).
Shunday qilib, biz ekanligini ko`rsatdik, bu yerda xÎ(x<sub>0</sub>;x). Endi g(x)=(x-x<sub>0</sub>)<sup>n+1</sup>, g<sup>(n+1)</sup>(x)=(n+1)!, R<sub>n</sub><sup>(n+1)</sup>(x)=f<sup>(n+1)</sup>(x) ekanligini e`tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo`lamiz:
R<sub>n</sub>(x)= , xÎ(x<sub>0</sub>;x). (3.8)
Bu (3.8) formulani Teylor formulasining Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi.
Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadni
R<sub>n</sub>(x)= (3.9)
ko`rinishda ham yozish mumkin, bu yerda q birdan kichik bo`lgan musbat son, ya`ni 0<q<1.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi kuyidagi shaklda yoziladi:
f(x)=f(x<sub>0</sub>) + f`(x₀)(x-x₀) + f``(x₀)(x-x₀)² + ...
+ f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ + , bu yerda xÎ(x₀;x).
Agar x₀=0 bo`lsa, u holda x=x<sub>0</sub>+q(x-x<sub>0</sub>)=qx, bu yerda 0<q<1, bo`lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
f(x)=f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x²+ ... + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ+ (3.10)
shaklida yoziladi.
Teylor formulasining Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadi. Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko`rinishlariga misol tariqasida Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun

yordamchi funksiyani tuzib olamiz va [x₀;x] segmentda uzluksiz, (x₀;x) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo`lgan biror y(t) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo`llasak,
(3.11)
ko`rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin.
Agar (3.11) formulada y(t) funksiya sifatida y(t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz:



3. Ba`zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi
e<sup>x</sup> funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=e<sup>x</sup> funksiyaning (-¥;+¥) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f<sup>(k)</sup>(x)=e<sup>x</sup>, k=1, 2, ..., n+1. Bundan x=0 da f<sup>(k)</sup>(0)=1, k=1, 2, ..., n; f<sup>(n+1)</sup>(qx)=e<sup>qx</sup> va f(0)=1 hosil bo`ladi. Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo`yib
(4.1)
bu yerda 0<q<1, formulaga ega bo`lamiz.
1-rasmda funksiya va P₃(x) ko`phad funksiyaning grafiklari keltirilgan.
Agar x=1 bo`lsa,
(4.2)
formulaga ega bo`lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.



1-rasm
Haqiqatan ham, faraz qilaylik, - ratsional son bo`lsin. Bunda e>1 bo`lganligi uchun p>q bo`ladi. (4.2) da desak,

Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko`paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:


(4.3)
Bu yerda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda q<1, p>q bo`lganligi uchun
(4.4)
bo`ladi. Shuningdek, n>p>q bo`lganligi uchun n! -butun son, chunki n! da q ga teng bo`lgan ko`paytuvchi uchraydi.

Ravshanki,

ko`rinishdagi yig`indi ham butun son bo`ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o`ng tomoni esa (4.4) ga ko`ra birdan kichik musbat son bo`ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo`ladi.
Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila uchun quyidagi formula o`rinli edi (I.8-§): . x=0 da f(0)=0 va

Shuning uchun (3.10) formulaga ko`ra
(4.5) ko`rinishdagi yoyilmaga ega bo`lamiz.

2-rasm
2-rasmda f(x)=sinx, P₃(x), P₅(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.


Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi. Ma`lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun formulaga egamiz.
x=0 da f(0)=1 va
Demak, cosx funksiya uchun quyidagi formula o`rinli:
(4.6)

3-rasm
3-rasmda f(x)=cosx, P₂(x), P₄(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.


f(x)=(1+x)^m (mÎR) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya (-1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x)^m funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz:
,
,
. (4.7)
Ravshanki, f(0)=1, f⁽ⁿ⁾(0)=m(m-1)...(m-n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)^m funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(4.8)
0f(x)=ln(1+x) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiyaning (-1;¥) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, funksiyasiga (4.7) formulani qo`llab, unda m=-1 deb n ni n-1 bilan almashtirsak, formulani hosil qilamiz. Ravshanki, f(0)=0, f<sup>(n)</sup>(0)=(-1)<sup>n-1</sup>(n-1)! Shuni e`tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz:
(4.9)
Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko`ramiz.
Misol. Ushbu f(x)=e<sup>-3x</sup> funksiya uchun Makloren formulasini yozing.
Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f`(0),...,f⁽ⁿ⁾(0) larni topib, (3.10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=e^x funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (4.1) formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada
, 0formulaga ega bo`lamiz.
Misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x<sub>0</sub>=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (4.9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va
lnx= , 0< q <1
formulaga ega bo`lamiz. Bu formula x-1>-1 bo`lganda, ya`ni x>0 larda o`rinli.