Reja: Asosiy masalalarning qo’yilishi

Koshi masalasi. Bu masala asosan giperbolik va parabolic tipdagi tenglamalar uchun quyiladi; G soxa butun R” fazo bilan ustma ust tushadi, bu holda chegaraviyu shartlar bo’lmaydi.

Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi; S da chegaraviy shartlar beriladi, boshlang;ich shartlar, tabiiy bo’lmaydi.

v) Aralash masala giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi; G R’’ bo’lib, boshlang’ich va chegaraviy shartlar beriladi. Yuqorida aytilgan masalalarni xar bir tipdagi tenglama uchun qanday qo’yuilganini alohida ko’ramiz.

2. Koshi masalasi va uning qo’yilishida xarakteristikalarning roli. (37) tenglama uchun (giperbolik tip) Koshi masalasi bunday qo’yiladi:

C²(t>0) C(t 0) sinfga tegishli t>0 yarim fazoda (44) tenglamani va t+=0 da



Boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u (x,t) funksiya topilsin.

(44) diffuziya tenglamasi uchun (parabalik tip) Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi:

C²(t>0) C(t 0) sinfga tegishli t>0 yarim fazoda (44) tenglamani va t+=0 da

Keltirilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Shu maqsadda x₁ , x₂, … , x_n o’zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu kvazi chiziqli differfensial tenglamani tekshiramiz.

Yetarli silliq S:ω(x₁, … ,x_n)=0 sirt va bu sirtga urinma bo’lmagan, uning xar bir nuqtasida biror l yo’nalish berilgan bo’lsin. S sirtning biror atrofida (72) tenglamani va

Koshi (boshlang’ich) shartlarni qanoatlantiruvchi u(x) funksiya topilsin. Boshlang’ich shartlardan foydalanib, S sirtda izlanayotgan funksiyaniong barcha birinchi tartibli xosilslarini toppish mumkin. Endi oldimizga bunday masala qo’yamiz. (72) tenglama va (73) shartlardan foydalanib, S sirtda u(x) funksiyaning( (72) tenglamaning u(x) yechimi mavjud deb faraz qilamiz) ikkinchi tartibli xosilalarini toppish mumkinmi? Avvalo boshlang’ich shartlar x₁= gipertekislikda (Rⁿ – n o’lchovli yevklid fazosidagi (n-1) o’lchovli tekislik gipertekislik deyiladi; n=3 da gipertekislik oddiy tekislikdan, n=2 esa to’g’ri chiziqdan iboratdir) berilgan holni ko’ramiz:

Bu yerda l yo’nalish sifatida normal olinyapti. (74) shartlar asosida = gipersilkada xosiladan tawqari u(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli xosilalarini aniqlash mumkin ni aniqlash uchun (72) tenglamadan foydalanishimiz kerak. Bunda ikki xol bo’lishi mumkin:

1. 
   2)
   

1. 
   Xolda = gipersilkada ni birdan bir aniqlash mumkin;
   
2. 
   Xolda esa aniqlab bo’lmaydi. Endi umumiy xolni, ya’ni boshlang’ich shartlar biror S
   

=0

Sirtda berilgan xolni ko’ramiz. S sirt atrofida o’zgaruvchilar o’rniga ya’ni o’zgaruvchilarni kiritamiz:

, , i= 2, … , n . (75)

Shu bilan birga funksiyalar yetarli silliq va (75) almashtirishning yakobiyani noldan farqli qilib tanlab olinadi. Ya’ni o’zgaruvchilarga nisbatan (72) tenglamaning koeffitsientlarini orqali belgilab olsak (2-§ ga qaralsin), tenglikni e’tiborga olib, (72) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olishimiz mumkin:

+ 2 + + =0 (76)

S sirt tenglamasi esa =0 dan iborat bo’ladi, ya’ni bu holda masala avvalgi xususiy holga keladi.

Agar S sirt (72) tenglamaning xarakteristik sirti bo’lmasa, 0 bo’ladi. Bu holda (76) tenglamaga kirgan barcha xosilalarni =0 da xisoblash mumkin. Agarda S xarakteristik sirt bo’lsa, bo’ladi.

Natijada (76) tenglamada xosila ishtirok etmaydi. (76) dan boshlang’ich shartlarga asosan y=0 bo’lganda ushbu

Tenglik xosil bo’ladi.

Bu tenglikdan darxol shu narsa kelib chiqadiki, agar S xarakteristik sirt bo’lsa, boshlang’ich shartlarda berilgan funksiyalar o’zaro bog’langan bo’lib qoladi. Demak xarakteristik sirtda boshlang’ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman yechimga ega bo’lmasligi mumkin yoki yechimga ega bo’lsa ham u yagona bo’lmaydi.

M i s o l. ushbu

Tenglamaning

Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Ravshanki, x=const, y=const to’g’ri chiziqlar oilasi, jumladan y=0 xam berilgan tenglamaning xarakteristikalaridan iborat. Demak boshlangich shartlar xarakteristikada berilyapti. Tekshirilayotgan tenglamaning umumiy yechimi

dan iborat. Umumiylikka ziyon yetkazmay deb xisoblashimiz mumkin.

Boshlang’ich shartlarga asosan

Agar bo’lsa, oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin emas, bu holda Koshi masalasi yechimga ega bo’lmaydi.

Shunday qilib bo’lgandagina Koshi masalasi yechimga yechimga ega bo’lishi mumkin. Bu holda uchun ushbu funksiyani olishimiz mumkin:

Bu yerda sinfga tegishli va shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya.

Agar bo’lsa, Koshi masalasining xaqiqatdan ham yechimi mavjud bo’lib, u yechim

Formula bilan aniqlanadi, lekin yehcim emas.

3.