Reja: Asosiy tushunchalar va masalaning qo’yilishi. Model tuzish

2. Model boshlang’ich shartlarning 2 ta holi. Yuqoridagi tenglama-lar bir qiymatli aniqlanishi uchun boshlang’ich shartlarni berish kerak. Soddalik uchun vaqt momentida tuzalib immunitetga ega bo’lganlar yo’q, ya’ni infeksiyalanganlarning boshlang’ich soni ga teng deb hisoblaymiz.
Shuningdek, kasallanish va sog’ayish koeffisiyentlari teng ( = ) deb olamiz. Natijada ikki holatni qarab chiqish zarurati tug’iladi.
1-holat. . Bu holatda vaqt o’tishi bilan kasallikka chalinish yuz bermaydi, chunki bunda va demak, (1) tenglikka va shartga ko’ra barcha larda tenglik bajariladi. Qaralayotgan hol ko’p infeksiyaga uchraganlar izolyasiyada bo’lgan vaziyatga mos keladi. Bu holatda (3) tenglamadan tenglamaga kelamiz. Bu yerdan . Demak,
.
Qo’yidagi rasmda har bir guruh soni o’zgarish grafigi tasvirlangan .

2-holat. Bu holda ning barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’ladigan interval mavjud bo’lishi kerak, zero masala qo’yilishiga ko’ra uzluksiz funksiya. Bu yerdan lar uchun kasallik barcha unga moyillarga tarqalishi kelib chiqadi. Shunday qilib, (2) dan

kelib chiqadi, bu yerda
Bu qiymatni (3) tenglamaga qo’yib
(5)
differensial tenglamaga kelamiz. Endi (5) tenglamaning ikkala qismini ga ko’paytirib

yoki

tenglamaga kelamiz.
Bu yerdan va demak (5) tenglama barcha yechimlari to’plami
(6)
munosabat bilan aniqlanadi. Bu yerda desak ni olamiz va shunday qilib (6) tenglama
(7)
ko’rinishini oladi, bu yerda .


3. Modelni tadqiq qilish. Modelni, uning natijalarini (yechimlarini) interpretasiyalash (tadqiq qilish) T uchun aniq qiymat topish (a) va infeksiya yuqtirgan odamlar soni maksimal bo’ladigan vaqt momentini topishdan (b) iborat.
a) T qiymatni topish shu nuqtai nazardan muhimki, bu vaqt momentida kasallikka moyil odamlarning kasallikka chalinishlari barham topadi. Agar (7) tenglamaga murojaat qilsak, u holda uning o’ng qismi ga qiymatni qabul qiladi, ya’ni
.
Biroq
. (8)

Bu kasallikka moyil, lekin kasallanishdan qutilib qolganlar sonidir va ular uchun

munosabat o’rinli, bu yerdan
(9)
Shunday qilib, biz uchun aniq bir qiymat ko’rsatishimiz mumkin bo’lsa, u holda (9) tenglama yordamida epidemiya tugash vaqtini bashorat qilishimiz mumkin bo’ladi, u holda (9) qiymatni (8) qo’yib

tengsizlikni olamiz. Undan
. (10)
Bu tenglamada va hadlar ma’lum bo’lganligi uchun uning yordamida ni aniqlash mumkin.
b) qo’yilgan ikkincha masalani yechish uchun yana (7) tenglamaga murojaat qilamiz (uni differensiallaymiz) va

tenglikka kelamiz.
Bu yerdan maksimal qiymatga erishadigan vaqt

munosabat bilan aniqlanishi kelib chiqadi. Agar bu qiymatni (7) tenglikka qo’ysak
.
Olingan tenglikdan ko’rinadiki, xususiy holda vaqt momentida kasallikka moyil odamlar soni kasallanganlar soniga teng bo’ladi.
Agar bo’lganda kasallikka moyil odamlar infeksiyalangan bo’ladilar va .
Qo’yidagi rasmda har bir guruhdagi odamlar soni o’zgarishi grafigi tasvirlangan:

Mavzuni mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Populyasiyadagi har bir guruh soni o’zgarishi tenglamalarini asoslang.
   
2. 
   (2), (3), (4) sistemalar yechimlarini keltirib chiqaring.
   
3. 
   Kasallanish tugashi vaqti T ni toping.
   
4. 
   Infeksiyalanganlar soni maksimal bo’luvchi vaqtni toping.