Reja: Eyler almashtirishlari

dx=`(t)dt
ni olamiz. Ratsional kasrning hosilasi ham ratsional kasr ekanligidan `(t) ham ratsional funksiyadir.
Endi, almashtirishni integralga qo`yib,

ni olamiz. Bu yerda r(t)=R[(t); t^1, t ^2] `(t) bo`lib, u ratsional funksiyadan iboratdir, chunki
.
2-misol. integralni toping.
Yechish:



> restart;
> with(student):
> IR11:=changevar(x+1=t^6,int(sqrt(x+1)/(1+(x+1)^(1/3))
,x),t);

> IR11:=changevar(t=(x+1)^(1/6), (IR11, t),x);

3-misol. integralni toping.
Bunda ,
=
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish
> restart;
> with(student):
>IR13:=changevar(x=(1-t^2)/(1+t^2),int(sqrt((1-x)/(1+x))/
(1-x)^2, x),t);

> IR13:=changevar(t=sqrt((1-x)/(1+x)), (IR13, t),x);

2)Bevosita integrallash.
> restart;
> IR13:=Int(sqrt((1-x)/(1+x))/(1-x)^2,x)=int(sqrt((1-x)
/(1+x))/(1-x)^2,x);

2. integral binomial differensial integrali deb atalib, bu yerda m,n,p lar ratsional, a va b lar esa noldan farqli haqiqiy sonlardir. P.L.Chebishev tomonidan, bu integral :
1) p- butun son (bo`lganda yoyish yordami bilan);
2) -butun son (bo`lganda almashtrish bilan, s bunda p ni maxraji);
3) - butun son (bo`lganda almashtrish bilan, s bunda p ni maxraji) bo`lgan hollardan biri sodir bo`lgandagina elementar funksiyadan iborat bo`lishi, ya`ni olinishi isbotlangandir. Boshqa holda u olinmaydigan integraldir.
4-misol. integralni toping.
Yechish. Bunda 2) hol bajarilishidan
, ,
almashtrish bilan

=
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish
> restart;
> with(student):
> IR14:=changevar(x=(t^3-1)^4,int((1+x^(1/4))^(1/3)/sqrt(x),x),t);

> IR14:=changevar(t=(1+x^(1/4))^(1/3), (IR14, t),x);

2)Bevosita integrallash.
> IR13:= Int((1+x^(1/4))^(1/3)/sqrt(x),x)=int((1+x^(1/4))^(1/3)/sqrt(x),x);

5-misol. integralni hisoblang.
Yechish.
(butun) bo`lganligi uchun almashtirish olsak,
bo`ladi. Demak, bo`lganligi uchun,

> restart;
> with(student):
> IT9:=Int(1/(1+x^4)^(1/4),x)=int((1+x^4)^(-1/4),x);


1-eslatma. Almashtirish yordamida berilgan integralni ratsional funksiyaning integraliga keltirish uni ratsionallashtirish deb ataladi.
2) Agar c>0 bo`lsa,

Eylerning ikkinchi almashtirishni qilib, yuqoridagiga o`xshash ishlar bajarilsa, integral ratsionallashadi.
3) Agar ildiz ostidagi kvadrat uchhad diskriminanti musbat bo`lsa, ya`ni u ikkita ildizga ega bo`lsa,

Eylerning uchinchi almashtirishni qo`llash mumkin, bu yerda  kvadrat uchhad ildizlaridan biri. Bu almashtirishda ham 1) banddagiga o`xshash ishlarni bajarib, integral ratsionallashtiriladi.
4) Agar kvadrat uchhad diskriminanti nolga teng va a>0 bo`lsa, ildiz ostidagi ifoda to`la kvadratdan iborat bo`lib qoladi va irratsionallik o`z-o`zidan yo`qoladi, ya`ni bu holda integral ostida irratsionallik bo`lmaydi.
5) Agar kvadrat uchhad diskriminanti musbat bo`lmay a<0 bo`lsa, - ildiz ma`nosini yo`qotadi va integral ham ma`noga ega bo`lmaydi.
2-eslatma - ildiz biror oraliqda ma`noga ega bo`ladigan va kvadrat uchhad diskriminanti noldan farqli bo`lgan holda Eyler almashtirishlaridan birini qo`llash mumkin bo`ladi, albatta.

Ушбу иррационал функцияларни интегралланг.

Yuqorida berilgan f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyasi, ya`ni aniqmas integrali elementlar funksiya orqali ifodalanadigan hollarni ko`rdik. Bu yerda boshlang`ich funksiyasi elementar bo`lmaydigan funksiyalar haqida so`z yuritamiz. Masalan,

> Int(exp(-x^2),x)=int(exp(-x^2),x);

> Int(sin(x)/x,x)=int(sin(x)/x,x);

> Int(cos(x)/x,x)=int(cos(x)/x,x);

> Int(sin(x^2),x)=int(sin(x^2),x);

> Int(cos(x^2),x)=int(cos(x^2),x);

integrallarni olsak, ular elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Bu va ularga o`xshash integrallarni olinmaydigan integrallar deyish odat tusiga kirgan. Shu sababli biz ham bunday integrallarni, an`anani saqlagan holda, olinmaydigan integrallar deb ataymiz. Shuni ham aytish lozimki, olinmaydigan integral deganda integral mavjud emas ekan deb tushunmaslik kerak, ular mavjuddir, ammo, elementar funksiya orqali ifodalanmay maxsus funksiyalar orqali ifodalanadi. Masalan,

integral ehtimollar nazariyasida muhim ahamiyatga ega bo`lib, uni ehtimollik integrali deb yuritiladi.

ekanligini almashtirish bilan keltirib chiqarish mumkin, ya`ni yuqoridagi olinmaydigan integral ehtimollik integrali deb ataluvchi maxsus funksiya orqali ifodalanar ekan.
ADABIYOTLAR

1.