Reja: Funksiyaning differensiali

12-ma’ruza
Funksiyaning differensiali. Differensial formasining invariantligi. Funksiya differensialini taqribiy hisoblashlarga tatbiqi. Yuqori tartibli hosila va differensiallar



Reja:

1. 
   Funksiyaning differensiali.
   
2. 
   Differensial formasining invariantligi.
   
3. 
   Funksiya differensialini taqribiy hisoblashlarga tatbiqi.
   
4. 
   Yuqori tartibli hosila va differensiallar.
   

Tayanch so`z va iboralar: Funksiyaning differensiali, differensial forma, taqribiy hisoblashlarga tatbiqi, yuqori tartibli hosila va differensiallar
Funksiya differensiali
Matematika tadbiqida asosan taqribiy hisoblashlar qo‘llaniladi. Taqribiy hisoblashlarning muhum manbai bo‘lib, funksiya differensiali hisoblanadi. Biz mana shu tushuncha bilan tanishamiz.
funksiya nuqtaning biron-bir atrofida berilgan bo‘lib, nuqtada uzluksiz, yani bo‘lsin. Agar va deb belgilashlar kiritsak, argument orttirmasi, esa shu orttirmaga mos keluvchi funksiya orttirmasi bo‘lib, yuqoridagi limit munosabatini quyidagicha yozish mumkin:


Ta’rif. Agar da, funksiya orttirmasi ni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa,
(1)
bu yerda o‘zgarmas son, , u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi va funksiyaning nuqtadagi differensiali ga teng deb ataladi. Bu differensial shaklida belgilanadi.

Izoh. funksiya uchun tenglik kabi ifoda etiladi va funksiya da, ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi. Masalan da bo‘ladi, chunki yoki da bo‘ladi, sababi

tenglik o‘rinlidir. Xuddi shunga o‘xshash da , va x.k.
Agar (1) tenglikni ga bo‘lib da limitga o‘tsak quyidagini hosil qilamiz:

Bu tenglikdan, funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud bo‘lib, ekanligi kelib chiqar ekan. Demak, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, bu nuqtada funksiya hosilasi ham mavjud bo‘lar ekan. Bu tasdiqning teskarisi ham o‘rinli.
Agar funksiya intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, funksiya intervalda differensiallanuvchi deyiladi.
Demak,

bundan
(2)
kelib chiqadi.
(2) tenglikga tayanib asosiy elementar funksiyalarning differensiali va differensiallash qoidalarini kelitiramiz.: