Reja: Kirish Gipergeometrik funksiya Asosiy tariflar

Reja:
1.Kirish
2.Gipergeometrik funksiya
3.Asosiy tariflar
4.Gipergeometrik funksiyaning integral ifodasi

Gipergeometrik funksiya
1.Asosiy funksiyalar.Ushbu
x(1-y) + - = 0 (15)
gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi deb ataluvchi tenglamani tekshiramiz.Bu yerda uchta ixtiyoriy parametr bo’lib, xaqiqiy yoki
kompleks qiymatlarni qabul qiladi.Bulardan ikkitasi va tenglamada simmetrik ishtirok etadi.
(15) tenglamaning yechimi
(16)

darajali qator ko’rinishida izlaymiz.Bundan

Yoki

Bu hosilalarning qiymatini va ni (15) tenglamaga qo’yamiz.

U holda

Nomalum … … o’zgarmaslarni topish uchun aniqmas koiffsentlar uslidan foydalanamiz, bunga asosan x ning bir xil darajalari olinadigan koiffsentlarni nolga tenglashtirish kerak. oldidagi umumiy koiffsentlarini nolga tenglashtirib, ushbu

-(n-1)n +n(n+1) -n(a+b+1) +c(n+1) -ab =0
Tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan

rekurrent formulaga ega bo’lamiz.
Bu yerda =1 va -1, -2, … , -n, … deb hisoblaymiz. (15) gipergeometirik tenglamaning birinchi hususiy yechimi ni
orqali belgilab, koeffisientlarning topilgan qiymatlarini (16) qatorga
qo’yamiz.U holda
(17)

Bunda

Xususiy holda,
(17) qator bu qatorning yig’indisi bo’lgan
F(a,b,c,x) funksiya esa deyiladi.
Dalamber prinsipiga asosan,

Demak, (17) qator da absolyut yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bo’ladi.Isbotsiz eslatib o’tamizki, bo’lganda,agar bo’lsa, (17) qator absolyut yaqinlashuvchi,agar
bo’lsa uzoqlashuvchi, bo’lganda esa, agar bo’lsa
absalyut yaqinlashuvchi, agar bo’lsa, absalyut bo’lmay
yaqinlashuvchi, agar bo’lsa uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar (17) formulada bo’lsa,

ga asosan

ga asosan

Binomial qator hosil bo’ladi.
Agarda a=1, b=c bo’lsa, (17) formula ushbu

ko’rinishga ega bo’ladi,yani a=1 , b=c bo’lgan holda gipergeometrik qator geometric progressiyaga aylanadi, shuning uchun ham u gipergeometrik
qator deb atalgan.
(15) tenglamaning ikkinchi xususiy, umuman aytganda, (17) ga chiziqli bo’g’liq bo’lmagan yechimini topish uchun (15) tenglamada

almashtirishni bajaramiz.U holda (15) tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi:


Bu tenglama (15) tenglama tipiga tegishli tenglama bo’lishi uchun yoki albatta bu hol bizni qiziqtirmaydi, yoki bo’lishi kerak.U holda


tenglamaga ega bo’lamiz.SHunday qilib, bo’lganda almashtirish (15) tenglamani xuddi shu ko’rinishdagi tenglamaga o’tkazadi,
faqat a,b,c larni mos ravishda

larga almashtirish zarur.Demak, berilgan (15) tenglama ga chiziqli bog’liq bo’lmagan

Yechimga ega bo’ladi.SHu bilan birga,

bo’lgandagina manoga ega bo’ladi.SHunday qilib, (15) tenglamaning umumiy yechimini quydagi ko’rinishda yozish mumkin:

bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmaslar.

Agar gipergeometrik funksiyaga simmetrik bo’lib kirgan a va b parametrlardan bittasi manfiy butun son - n gat eng bo’lsa, (17) gipergeometrik qator uzilib qoladi va n- darajali ko’phadga aylanadi.
Agar bunda butun sonlar bo’lsa, u holda gipergeometrik qator ko’phadga aylanib, uning darajasi sonlarning kichigiga teng bo’ladi. (17) qatorni xadlab differensiallash, natijasida darhol ushbu

formulani hosil qilamiz.
(17) qatorni avval , yoki ga ko’paytirib, so’ngra xadlab differensiallasak, quydagi formulalar kelib chiqadi:


(18)