Reja: Skalyar argumentli vektor funksiya. Vektor funksiyaning hosilasi. O`rta qiymat haqidagi teoremalar Ferma teoremasi, Roll teoremasi Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi Skalyar argumentli vektor funksiya

3. Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi


Teorema (Lagranj teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) da chekli f`(x) hosila mavjud bo`lsa, u holda (a,b) da kamida bitta shunday c nuqta mavjud bo`lib,
(1.1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isbot. Quyidagi yordamchi funksiyani tuzib olamiz:

Bu F(x) funksiyani [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) da hosilaga ega bo`lgan f(x) va x funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida qarash mumkin. Bundan F(x) funksiyaning [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) da hosilaga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuningdek
F(a)= F(b)=0,
demak F(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.
Demak, Roll teoremasiga ko`ra (a,b) intervalda kamida bitta shunday s nuqta mavjud bo`ladiki, F`(c)=0 bo`ladi.
Shunday qilib,

va bundan esa isbot qilinishi kerak bo`lgan (1) formula kelib chiqadi. Teorema isbot bo`ldi.
(1.1) formulani ba`zida Lagranj formulasi deb ham yuritiladi. Bu formula
f (b)-f(a)=f`(c)(b-a) (1.2)
ko`rinishda ham yoziladi.
Endi Lagranj teoremasining geometrik ma`nosiga to`xtalamiz. f(x) funksiya Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantirsin deylik (21-rasm). Funksiya grafigining A(a;f(a)), B(b;f(b)) nuqtalar orqali kesuvchi o`tkazamiz, uning burchak koeffitsienti
bo`ladi.
Hosilaning geometrik ma`nosiga binoan f`(c) - bu f(x) funksiya grafigiga uning (s;f(s)) nuqtasida o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti: tgb=f`(c) Demak, (1.1) formula (a,b) intervalda kamida bitta shunday c nuqta mavjudligini ko`rsatadiki, f(x) funksiya grafigiga (c;f(c)) nuqtada o`tkazilgan urinma AB kesuvchiga paralell bo`ladi.
Isbot qilingan (1.1) formulani boshqacha ko`rinishda ham yozish mumkin. Buning uchun a tengsizliklarni e`tiborga olib, belgilash kiritamiz, u holda c=a+(b-a)q, 01 bo`lishi ravshan. Natijada (1) formula ushbu f(b) - f(a) = f`(a+q(b-a))(b-a) ko`rinishga keladi.
Agar (1) formulada a=x<sub>0</sub>; b=x<sub>0</sub>+Dx almashtirishlar bajarsak, u
f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>)=f`(c)Dx (1.3)
bu yerda x_{0 0}+Dx, ko`rinishga keladi. Bu formula argument orttirmasi bilan funksiya orttirmasini bog`laydi, shu sababli (1.3) formula chekli orttirmalar formulasi deb ataladi.
Agar (1.1) Lagranj formulasida f(a)=f(b) deb olsak, Roll teoremasi kelib chiqadi, ya`ni Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi ekan.
Misol. Ushbu [0,2] kesmada f(x)=4x<sup>3</sup>-5x<sup>2</sup>+x-2 funksiya uchun Lagranj formulasidagi c ning qiymatini toping.
Yechish. funksiyaning kesma uchlaridagi qiymatlarini va hosilasini hisoblaymiz: f(0)=-2; f(2)=12; f`(x)=12x²-10x+1. Olingan natijalarni Lagranj formulasiga qo`yamiz, natijada
12-(-2)=( 12c<sup>2</sup>-10c+1)(2-0) yoki 6c<sup>2</sup>-5c-3=0 kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz: c<sub>1,2</sub>= . Topilgan ildizlardan faqat qaralayotgan kesmaga tegishli. Demak, c= ekan.
Lagranj teoremasi o`z navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi bo`ladi.