Reja: va φ vektorlar ustun koordinatalari orasidagi boђlanish

11-maъruza
va φ( ) vektorlar ustun koordinatalari orasidagi boђlanish. CHizišli algebralar (2 soat)

Reja:

1. 
   va φ( ) vektorlar ustun koordinatalari orasidagi boђlanish.
   
2. 
   CHizišli algebra ќašida tushunchalar.
   
3. 
   CHizišli algebraga misollar.
   

Adabiyot

1. 
   Nazarov R.N., Toshpœlatov B.T., Dœsumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I šism. T.: Œšituvchi. 1993 y. (253-257 betlar).
   
2. 
   Kulikov L.YA. Algebra i teoriya chisel. M.: Vыssh. shkola. 1979 g. (str. 291-293, 298-300).
   

ℱ maydon ustida V_n vektor fazo berilgan bœlib,

(1)
uning biror bazisi va φ operator berilgan V_n fazoning chizišli operatori bœlsin. va φ( ) vektorlarning (1) bazis oršali , kœrinishda ifodalansin.
va φ( ) vektorlarning (1) bazisga nisbatan ustun koordinatalarini mos ravishda ushbu

kœrinishlarda belgilab, ular orasidagi boђlanish formulasini keltirib chišaraylik.
Teorema. Agar φ operator V_n fazoda anišlangan chizišli operator bœlib, M(φ) shu φ chizišli operatorning (1) bazisdagi matritsasi bœlsa, u ќolda  ∈V_n uchun M(φ( ))=M(φ)M( ) tenglik bajariladi.
Isboti. Bizga maъlumki, φ chizišli operatorning matritsasi

bœlsa, u ќolda
(2)
tengliklar œrinli bœladi. Agar = bœlsa, u ќolda bœladi. Bu tenglikda larni (2) dagi šiymatlari bilan almashtirib, tenglikni ќosil šilamiz. Bundan kelib chišadi. φ(x) vektorning ustun koordinatalariga kœra

ќosil bœladi, yaъni M(φ( ))=M(φ)M( ) tenglik kelib chišadi.
Misol. V₃ fazoda vektorlarni bazisga nisbatan mos ravishda vektorga œtkazuvchi φ chizišli operatorning matritsasini toping.
vektorlarni bazis vektorga œtkazuvchi matritsa
, vektorlarni bazis vektorga œtkazuvchi matritsa bœladi. Endi shunday M(φ) matritsa topish kerakki, u A matritsani V matritsaga œtkazsin, yaъni šuyidagi tenglik bajarilsin:
Bundan M(φ)=VA^-1 tenglikni yoza olamiz. Agar A ga teskari matritsani topsak, u ќolda yaъni ќosil bœladi.
ℱ sonlar maydoni ustidagi V chizišli fazoning istalgan vektorlari uchun kœpaytirish šoidasi anišlangan deb faraz šilib, lar kœpaytmasini shaklda belgilaylik.
Taъrif. ℱ maydon ustidagi V chizišli fazo elementlari uchun šuyidagi aksiomalar bajarilsa:

u ќolda V fazoni ℱ maydon ustidagi chizišli algebra deyiladi (Bu erda F tœplam ℱ maydonning asosiy tœplami).
Taъrif. Agar V chizišli algebrada aksioma bajarilsa, V kommutativ chizišli algebra deyiladi.
Taъrif. V chizišli algebraning rangi deb V fazoning œlchoviga aytiladi.
1-misol. C={a+bi | a,b∈R, i²=-1} tœplam R maydon ustida rangi ikkiga teng bœlgan chizišli algebra tashkil etadi.
2-misol. barcha n-tartibli kvadrat matritsalar tœplami F^nxn, ℱ maydon ustida rangli n² bœlgan chizišli algebra tashkil etadi. Bunday chizišli algebrani ℱ maydon ustidagi tœliš matritsalar algebrasi deyiladi.
3-misol. R maydon ustidagi kvaternionlar algebrasi R maydon ustidagi tœrt œlchovli V₄ vektor fazo bœlib, vektorlar V₄ fazoning bazisi bœlsin. V₄ fazoda kœpaytirish amali šuyidagi šoida asosida kiritiladi:
. U ќolda V₄ fazo rangi 4 ga teng bœlgan kvaternionlar algebrasi bœladi.

Tekshirish savollari

1. 
   va φ( ) vektorlar ustun koordinatalari orasidagi boђlanishni ifodalovchi teoremani bayon šiling.
   
2. 
   CHizišli algebra deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   CHizišli algebraga misollar keltiring.
   

Tayanch tushunchalar

1. 
   Vektorlar fazosi va uning bazisi, œlchovi.
   
2. 
   CHizišli operator va uning matritsasi.
   
3. 
   Kvaternionlar.
   

12-Maъruza

CHizišli operatorlar algebrasi va matritsalar algebralari
orasidagi izomorfizm (2 soat)

Reja:

1. 
   CHizišli operatorlar algebrasi.
   
2. 
   Matritsalar algebrasi.
   
3. 
   CHizišli operatorlar algebrasi va matritsalar algebrasi orasidagi izomorfizm.
   

Adabiyot

1. 
   Nazarov R.N., Toshpœlatov B.T., Dœsumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I šism. T.: Œšituvchi. 1993 y. (253-257 betlar).
   
2. 
   Kulikov L.YA. Algebra i teoriya chisel. M.: Vыssh. shkola. 1979 g. (str. 301-302).
   

V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bœlib, lar shu vektor fazoning chizišli operatorlari bœlsin. va chizišli operatorlar kœpaytmasi šuyidagicha anišlangan bœlsin, yaъni

Lemma. V vektor fazoning ixtiyoriy ikkita chizišli operatorlari kœpaytmasi yana shu vektor fazoning chizišli operatori bœladi.
Isboti. chizišli operatorlar V vektor fazoning chizišli operatorlari bœlsin. U ќolda kœpaytma V vektor fazoning chizišli operatori ekanligini kœramiz. Ќašišatan, va ℱ uchun šuyidagi shartlar bajariladi:
1. , yaъni bœladi.
2. , yaъni bœladi. Demak, kœpaytma V vektor fazoning chizišli operatori bœladi.
Bizga maъlumki Hom (V,V) tœplam ℱ maydon ustida vektor fazo tashkil etadi.
Ushbu algebrani algebra V vektor fazoning chizišli operatorlar algebrasi deyiladi va šuyidagicha belgilanadi:
End V=
Teorema. Agar V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bœlsa, u ќolda End V algebra ℱ maydon ustida chizišli algebra tashkil šiladi.
Isboti. EndV algebra chizišli algebra shartlarini tœliš bajaradi. Ќašišatan,

1. 
   algebra ℱ maydon ustida vektor
   

fazo tashkil šiladi;
Bu tasdiš oldingi maъruzalarda isbotlangan.
2.
Isboti.

3.
Isboti.

4. Hom (V,V), va .
Isboti.

Taъrif. U va algebralar ℱ maydon ustidagi chizišli algebralar va φ:U akslantirish biektiv akslantirish bœlib, šuyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

u ќolda φ akslantirishga izomorfizm U va chizišli algebralarga esa izomorf chizišli algebralar deyiladi va u U kœrinishda belgilanadi.
Misol. S₁ = < C, +, > - chizišli algebra, ; - chizišli algebra bilan izomorf, yaъni S₁ G₁ bœladi (bunda ).
Agar ℱ maydon ustidagi matritsalar algebrasini kœrinishda belgilasak, u ќolda šuyidagi teorema œrinli bœladi:
Teorema. V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bœlib, uning bazisi, M(φ) matritsa V vektor fazoda anišlangan φ chizišli operatorning bazisga nisbatan matritsasi va akslantirish mavjud bœlsa, u ќolda End V M(n, ℱ) munosabat œrinli bœladi.
Isboti. Bizga maъlumki, End V M(n, F) akslantirish biektiv akslantirish bœladi.

1. 
   
   

Isboti. ,

2. 
   
   

Isboti. ( ,
,
.

3. 
   
   

Isboti.

Demak, taъrifga asosan End V M(n, F) bœladi.

Tekshirish savollari

1. 
   CHizišli operatorlar algebrasi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Matritsalar algebrasi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Algebralar izomorfizmi ќašida teoramani bayon šiling.
   

Tayanch tushunchalar

1. 
   Maydon.
   
2. 
   Vektor fazo.
   
3. 
   CHizišli operatorlar.
   
4. 
   CHizišli algebra.
   
5. 
   Izomorfizm.
   

13-Maъruza

Xos vektorlar va xos šiymatlar.
Xarakteristik tenglama (2 soat)

Reja:

1. 
   Xos šiymatlar.
   
2. 
   Xos vektorlar.
   
3. 
   Xarakteristik tenglama.
   
4. 
   Xarakteristik kœpќad.
   
5. 
   Xarakteristik kœpќadning yagonaligi.
   

Adabiyot

1. 
   Nazarov R.N., Toshpœlatov B.T., Dœsumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I šism. T.: Œšituvchi. 1993 y. (263-266 betlar).
   
2. 
   Kulikov L.YA. Algebra i teoriya chisel. M.: Vыssh. shk. 1979 g. (str. 307-309).
   

Kompleks sonlar maydoni ustida šurilgan V_n vektor fazo va φ:V_n V_n chizišli operator berilgan bœlsin.

Taъrif. Ushbu
(1)
tenglikni šanoatlantiruvchi songa φ chizišli operatorning xos šiymati, vektor esa xos šiymatga mos keluvchi xos vektori deyiladi.
Teorema. Kompleks sonlar maydoni ustida šurilgan V_n vektor fazoning ќar bir φ chizišli operatori kamida bitta xos vektorga ega.
Isboti. V_n vektor fazoning
(2)
bazisi berilgan bœlib, vektorning bu bazisdagi koordinatasi bœlsin, yaъni tenglik œrinli bœlsin. vektorlar (2) bazis oršali chizišli ifodalanadi, yaъni
(3)
bœladi.
,
matritsa φ chizišli operatorning (2) bazisdagi matritsasi. Endi φ( ) vektorning (2) bazisdagi koordinatalarini anišlaymiz.
(4)

1. 
   va (4) ga asosan
   

,

(5)
kelib chišadi.
(5) sistema nomaъlumli bir jinsli chizišli tenglamalar sistemasi. Bu sistema nolmas echimga ega bœlishi uchun sistema determinanti nolga teng bœlishi zarur va etarli. SHunga kœra



(6)
ќosil bœladi. (6) ga φ chizišli operatorning xarakteristik tenglamasi deb yuritiladi. (6) ning chap šismidagi determinant ga nisbatan n-darajali kœpќadni bildiradi. Bu kœpќadga φ chizišli operatorning xarakteristik kœpќadi deb yuritiladi. Bizga maъlumki, n-darajali kœpќad kompleks sonlar maydoni ustida n ta ildizga ega bœladi. Bu ildizlar bœlib, ular φ chizišli operatorning xos šiymatlari bœladi. Ќar bir xos sonlarni (5) sistemaga šœyib, uning nolmas echimlari topiladi. Bu echimlardan tuzilgan vektorlar xos sonlarga mos xos vektorlar bœladi.
Agar matritsaning rangi bœlsa, φ chizišli operatorning ќar biri xos songa mos keluvchi xos vektorlar soni (n- ) ga teng bœladi.
Teorema. φ chizišli operatorning turli bazislaridagi xarakteristik kœpќadlari teng.
Isboti. φ chizišli operatorning
, (7)
(8)
bazislardagi matritsalari mos ravishda A va V bœlsin. U ќolda ekanligini kœrsatamiz. Bizga maъlumki, V=T^-1AT bœlib, T matritsa (7) bazisdan (8) bazisga œtish matritsasi. U ќolda
|B-λE|=|T^-1AT-λE|=|T^-1AT-λT^-1T|=|T^-1AT-T^-1λT|=|T^-1||AT-λT|= =|T^-1||A-λE||T|=|A-λE||T^-1||T|=|A-λE||T^-1T|=|A-λE|^.1=|A-λE|,
yaъni |B-λE|=|A-λE| bœladi.

Tekshirish savollari

1. 
   CHizišli operatorning xos šiymatlar deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   CHizišli operatorning xos vektorlar deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   CHizišli operatorning xarakteristik tenglamani yozing.
   
4. 
   CHizišli operatorning xarakteristik kœpќadni yozing.
   
5. 
   CHizišli operatorning xos vektori ќašidagi teoremani bayon šiling.
   

Tayanch tushunchalar

1. 
   Maydon.
   
2. 
   Vektor fazo va uning bazisi
   
3. 
   CHizišli operator.
   
4. 
   CHizišli tenglamalar sistemasi.
   
5. 
   Determinant.
   

14, 15 - maъruzalar

CHizišli tengsizliklar sistemasi. Šavariš konus. CHizišli tengsizliklar sistemasining natijasi (4 soat)

Reja:

1. 
   CHizišli tengsizliklar sistemasi ќašida tushuncha.
   
2. 
   Ќamjoyli va ќamjoysiz tengsizliklar sistemasi.
   
3. 
   Tengsizliklar sistemasining natijasi.
   
4. 
   CHizišli tengsizliklar sistemasining chizišli kombinatsiyasi.
   
5. 
   Bir jinsli chizišli tengsizliklar sistemasi.
   
6. 
   Šavariš konus.
   

Adabiyot

1. 
   Nazarov R.N., Toshpœlatov B.T., Dœsumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I šism. T.: Œšituvchi. 1993 y. (275-277 betlar).
   
2. 
   Kulikov L.YA. Algebra i teoriya chisel. M.: Vыssh. shkola. 1979 g. (str. 317-320).
   

Ќozirgi kunda ištisodiyot masalalarini ќal etish uchun tengsizliklar sistemasidan keng foydalanilmošda.

Taъrif. Ushbu
(1)
tengsizlik R ќašišiy sonlar maydoni ustidagi n ta nomaъlumli tengsizlik deyiladi.
(1) da x₁,x₂,...,x_n – nomaъlumlar, a_i , b∈R ( ) esa koeffitsi-entlar deyiladi.
Taъrif. Agar (1) da b=o bœlsa, u ќolda (1) ga bir jinsli, b≠o bœlsa, u ќolda (1) ga bir jinsli bœlmagan tengsizlik deyiladi.
Taъrif. Ushbu
a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... +a_1n x_n + v₁ ≥o,
a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... +a_2n x_n + v₂ ≥ o, (2)
- - - - - - - -
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ... +a_mn x_n + v_m ≥ o

cistemaga n ta nomaъlumli m ta chizišli tengsizliklar sistemasi deyiladi.

(2) da x₁, x₂ ,..., x_n nomaъlumlar, a_ij,b∈R ( ) sonlar (2) sistemaning koeffitsientlari deyiladi. v_i∈R (2) sistemaning ozod ќadlari deyiladi.
n nomaъlumlar sonini, m tenglamalar sonini bildirib, ular orasida m=n, mn munosabatlarning biri œrinli bœladi.
Taъrif. (2) sistemaning ќamma tengsizliklarini šanoatlantiruvchi x₁=α₁, x₂=α₂,..., x_n=α_n sonlar (2) sistemaning echimi deyiladi.
Taъrif. (2) sistemadagi ќamma tengsizliklar bir jinsli bœlsa, sistema ќam bir jinsli sistema deyiladi. (2) sistemaning kamida bitta tengsizligi bir jinsli bœlmasa, sistema bir jinsli bœlmagan sistema deyiladi.
Taъrif. Kamida bitta echimga ega bœlgan (2) sistema ќamjoyli sistema, bitta ќam echimga ega bœlmagan (2) sistema ќamjoysiz sistema deyiladi.
Taъrif. Agar (2) ning ixtiyoriy echimi (1) tengsizlikning ќam echimi bœlsa, (1) ga (2) ning natijasi deyiladi.
Taъrif. Agar (1) tengsizlik bitta ќam echimga ega bœlmasa, u ziddiyatli tengsizlik deyiladi. ziddiyatli tengsizlik šuyidagi kœrinishda bœladi:
0^.x₁+0.x₂+ ... +0.x_n+b≥0 (b<0) (3).
Taъrif. (2) sistemaning birinchi tengsizligini k₁≥0 songa, ikkinchisini k₂≥0 songa, ... , m-sini k_m≥0 songa kœpaytirib, ularni ќadlab šœshsak ќosil bœlgan ushbu tengsizlik
(4)
ga (2) sistemaning manfiymas chizišli kombinatsiyasi deyiladi.
Teorema. (2) sistemaning ќar bir manfiymas chizišli kombinatsiyasi shu sistemaning natijasi bœladi.
Isboti. (4) tengsizlik (2) sistemaning natijasi bœladi, chunki (2) ning ixtiyoriy (α₁, ... α_n) echimi (4) ni šanoatlantiradi.
.
Taъrif. Bir xil x₁, x₂, ... ,x_n nomaъlumli ikkita ќamjoyli tengsizliklar sistemasidan birining istalgan echimi ikkinchisi uchun ќam echim bœlsa yoki ikkala sistema ќam ќamjoysiz sistema bœlsa, ular teng kuchli sistemalar deyiladi.
Bizga šuyidagi n ta nomaъlumli m ta bir jinsli chizišli tengsizliklar sistemasi berilgan bœlsin.

a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... +a_1n x_n ≥o,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... +a_2n x_n≥ o,
- - - - - - (5)
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ... +a_mn x_n≥ o.


V=Rⁿ esa R maydon ustidagi arifmetik fazo bœlib bœlsin.
Taъrif. Vektorlarni šœyish va manfiymas ќašišiy songa kœpaytirish amallariga nisbatan yopiš bœlgan V vektor fazoning vektorlaridan tuzilgan bœsh bœlmagan tœplamga V vektor fazoning šavariš konusi deyiladi.
Misol. 1. va . Ushbu tœplam Rⁿ fazoning šavariš konusi bœladi. Bu šavariš konus vektor yaratgan tœђri chiziš deyiladi.
2. vektorlar sistemasining barcha manfiymas chizišli kombinatsiyasining tœplami Rⁿ fazoning šavariš konusi bœladi va šuyidagicha belgilanadi
Teorema. (5) bir jinsli chizišli tengsizliklar sistemasining barcha echimlar tœplami V=Rⁿ fazoning šavariš konusi bœladi.
Isboti. (5) ning barcha echimlar tœplami
bœlsin. Bunda ќašišiy sonlar.
Bu tœplam vektorlarni šœshish va manfiymas ќašišiy songa kœpaytirish amaliga nisbatan yopišdir. SHuning uchun bu tœplam V fazoning šavariš konusi bœladi.
Tekshirish savollari

1. 
   CHizišli tengsizliklar sistemasi (CHTS)ning umumiy kœrinishini yozing.
   
2. 
   CHTS ning echimi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Ќamjoyli va ќamjoysiz CHTS deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   CHTSning natijasi deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   CHTSning chizišli kombinatsiyasi deb nimaga aytiladi?
   
6. 
   Bin jinchli CHTS deb nimaga aytiladi?
   
7. 
   Šavariš konus deb nimaga aytiladi?
   
8. 
   Ziddiyatli tengsizlik deb nimaga aytiladi?
   

Tayanch tushunchalar

1. 
   Tengsizlik.
   
2. 
   Vektorlar fazosi.
   
3. 
   Arifmetik vektorlar fazosi.
   

16-Maъruza

Minkovskiy teoremasi. Tengsizliklar sistemasining
ќamjoysizlik sharti (2 soat)

Reja:

1. 
   Minkovskiy teoremasi.
   
2. 
   CHizišli tengsizliklar sistemaning ќamjoysizligi ќašidagi teorema.
   

Adabiyot

1. 
   Nazarov R.N., Toshpœlatov B.T., Dœsumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I šism. T.: Œšituvchi. 1993 y. (282-296 betlar).
   
2. 
   K ulikov L.YA. Algebra i teoriya chisel. M.: Vыssh. shk. 1979 g. (str. 321-326).