Riyazi analiz

Teorem 1. ( Lopital qaydası.) Tutaq ki, funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsini müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan, və ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır. Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin limiti varsa, onda funksiyalarının özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir; 
= =2.5

=1.5
Triqonometrik funksiyalar daxil olan ifadələrin inteqrallanması
Göstərmək olar ki, bu inteqral əvəzləməsinin köməyi ilə həmişə rasional funksiyanın inteqralına gətirilə bilər. və funksiyalarının vasitəsi ilə, deməli t ilə ifadə edək:

Daha sonra
Beləliklə, və dx yeni t dəyişəni ilə rasional ifadə edildilər. Rasional funksiyanın rasional funksiyası rasional funksiya olduğundan, alınmış ifadələri (1) inteqralında yerinə yazıb, rasional funk­siyanın inteqralını alarıq.
Baxılan əvəzləmə şəklində olan istənilən funksiyanı inteqrallamağa imkan verir. Ona görə də bəzən onu «universal triqonometrik əvəzləmə» adlandırırlar. Lakin praktikada o, çox zaman həddən artıq mürəkkəb rasional funksiyalara gətirib çıxarır. Ona görə də “universal” əvəzləmə ilə birlikdə bəzi hallarda məqsədə daha tez nail olmağa imkan verən digər əvəzləmələri də bilmək faydalıdır.

1) Əgər inteqral şəklindədirsə, onda əvəzləməsi onu şəklində inteqrala gətirir.

2) Əgər inteqral şəklində olarsa, onda o, əvəzləməsi ilə rasional funksiya inteqralına gətirilər.

3) İnteqralaltı funksiya yalnız tgx-dən asılı olarsa, onda tgx=t,x=arctgt,dx= əvəzləməsi həmin inteqralı rasional funksiya inteqralına gətirir:

4) Əgər inteqralaltı funksiya şəklində olarsa, ancaq və yalnız cüt dərəcədən daxildirsə, _tgx=t onda həmin  əvəzləməsi tətbiq olunur, çünki   və   funksiyaları tgx ilə rasional şəkildə ifadə olunur:

5) İndi şəkilli bir inteqrala da baxaq: inteqral işarəsi altında hasili durur (burada m və n tam ədədlərdir). Burada üç hala baxaq.
a) inteqralında m və n ədədlərindən heç olmasa biri tək ədəddir. Müəyyənlik üçün n ədədinin tək olduğunu qəbul edək ( ) və inteqralı çevirək:
əvəz edək, onda və olar. Bu isə t-nin rasional fnksiyasının inteqralıdır.
b) , burada m və n mənfi olmayan cüt ədədlərdir. qəbul edib, triqonometriyadan məlum olan düsturları yazaq:


Bu ifadələrinin qiymətlərini inteqralda yerinə yazsaq alarıq;


Qüvvətə yüksəldib, mötərizələri açdıqdan sonra cos2x funksiyasının tək və cüt dərəcəli qüvvətlərini alarıq. Tək dərəcəli hədlər a) halında göstərilən qayda ilə inteqrallanır, cüt dərəcəli qüvvətlərin dərəcəsini isə yenə (3) düsturlarının köməyi ilə azaldırıq. Bu qaydanı davam etdirərək həddinə gəlib çıxarıq, bu isə asan inteqrallanır.
c) Əgər hər iki qüvvət üstü cüt və heç olmasa biri mənfi olarsa, onda yuxarıda göstərdiyimiz üsül bir nəticə vermir. Bu halda tgx=t  (yaxud ctgx=t ) əvəzləməsi əlverişlidir.
6. şəkilli inteqrallar
aşağıdakı triqonometrik funksiyaların vasitəsilə tapılır:







şəkilli inteqrallar və cüt olduqda aşağıdakı düsturların vasitəsi ilə dərəcənin azaldılması vasitəsi ilə tapılır:


Əgər və -dən heç olmasa tək olduqda, məs. olduqda








dx=arctg(x)*x- dt=arctg(x)*x- =
=arctg(x)*x- *(ln )=arctg(x)*x - *(ln )=arctg(x)*x - *ln(1+ )=
=(arctg(x)*x - * =