İstənilən rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətindən ibarət rasional kəsr şəklində olur. Mühakimənin ümumiliyini azaltmadan, bu çoxhədlərinin ortaq vuruqlarının olmadığını fərz edə bilərik
Rasional kəsrlər. Sadə rasional kəsrlər və onların inteqrallanması
İstənilən rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətindən ibarət rasional kəsr şəklində olur. Mühakimənin ümumiliyini azaltmadan, bu çoxhədlərinin ortaq vuruqlarının olmadığını fərz edə bilərik.
Surətinin dərəcəsi məxrəcinin dərəcəsindən kiçik olan kəsrlər düzgün, əks halda isə düzgün olmayan kəsrlər adlanır.
Düzgün olmayan kəsrin surətini məxrəcinə bölərək (çoxhədlilərin bölünməsi qaydasına əsasən) onu müəyyən bir çoxhədli ilə düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:
,
burada – çoxhədli, isə düzgün kəsrdir.
Tərif. Aşağıdakı şəkildə olan düzgün kəsrlərə uyğun olaraq I, II, III və IV növ sadə kəsr deyilir:
I.
II. (k müsbət tam ədəddir və k≥2),
III. (məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, yəni ),
IV. (k müsbət tam ədəddir və k≥2,məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir).
I, II və III növ sadə kəsrlərin inteqrallanması çətin olmadığından onları izah etmədən verə bilərik:
I.
II.
III.
(bax §5).
IV.
Burada birinci inteqral əvəzləməsi tətbiq edilməklə hesablanır. Doğrudan da
İkinci inteqralı ilə işarə edək və aşağıdakı kimi çevirək:
burada
qəbul edilmişdir (şərtə əsasən məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, deməli, ). Sonra isə hesablamanı belə aparırıq:
(1)
Axırıncı inteqralı aşağıdakı kimi çevirək:
Alınmış inteqralı hissə-hissə inteqrallayaraq:
Bu ifadəni (1) bərabərliyində yerinə yazaq:
Sağ tərəfdə də şəklində inteqralı var, lakin inteqralaltı funksiyanın məxrəcinin dərəcəsi bir vahid kiçikdir, yəni k-1-dir. Beləliklə, inteqralını inteqralı ilə ifadə etdik.
Bu qayda ilə davam etməklə, məlum inteqrala gəlib çıxarıq:
t və m-inyerinə onların ifadələrini yazsaq IV inteqralının x və verilmiş A,B,p,q ədədləri vasitəsi ilə ifadəsini alarıq.
