Zarurligi. Aytaylik (1) birgalikda bo’lsin, ya’ni shunday
sonlar mavjudki, ularni (1) sistemaning noma’lumlari o’rniga qo’ysak, sistema tengamalari ayniyatlarga aylanadi:
pp
(2)
Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning
Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning
1-nchi ustunini ga,
2-nchi ustunini ga
va hakoza,
- nchi ustunini ga
ko’paytirib, ularning hammasini -nchi ustunga qo’shib yuboramiz. Natijada quyidagi matrisani hosil qilamiz:
111
=
=
Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi.
Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi.
Shunday qilib, .
Yetarliligi. Endi (1) sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lsin.
.
Umumiylikka zarar keltirmasdan va qulayligi uchun A matrisaning rangini aniqlaydigan r-tartibli minor matrisaning yuqori chap burchagida joylashgan bo’lsin deb olamiz, yani
