Сборник задач по высшей алгебре. М., Наука, 1977. Сборник задач по алгебре под редаксией. А. И. Кострикина, М., Наука, 1985

Teoremani isbot qilamiz.

• Teoremani isbot qilamiz.
• Zarurligi. Aytaylik (1) birgalikda bo’lsin, ya’ni shunday
• sonlar mavjudki, ularni (1) sistemaning noma’lumlari o’rniga qo’ysak, sistema tengamalari ayniyatlarga aylanadi:
• pp
• (2)
•  

Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning

• Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning
• 1-nchi ustunini ga,
• 2-nchi ustunini ga
• va hakoza,
• - nchi ustunini ga
• ko’paytirib, ularning hammasini -nchi ustunga qo’shib yuboramiz. Natijada quyidagi matrisani hosil qilamiz:
•  111
• =
•  
• =

Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi.

• Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi.
• Shunday qilib, .
• Yetarliligi. Endi (1) sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lsin.
• .
• Umumiylikka zarar keltirmasdan va qulayligi uchun A matrisaning rangini aniqlaydigan r-tartibli minor matrisaning yuqori chap burchagida joylashgan bo’lsin deb olamiz, yani
•