Science and Education



Yüklə 443,26 Kb.
səhifə2/4
tarix21.12.2023
ölçüsü443,26 Kb.
#188983
1   2   3   4
4801-Article Text-9312-1-10-20230125 (1)

Keywords: Fourier series, Fourier coefficients. Fourier series expansion of functions.



1. Furye qatori.
Faraz qilaylik,


f x


funksiya


R ,

da berilgan bo‘lsin. Ma’lumki,



shunday T R \ 0
son topilsaki, x R da
f x T f x

tenglik bajarilsa,
f x
davriy funksiya, T 0 son esa uning davri deyiladi.

Agar T 0 son
f x
funksiyaning davri bo‘lsa, u holda
kT k 1, 2,

sonlar ham shu funksiyaning davri bo‘ladi.

Agar
f xva
g x
davriy funksiyalar bo‘lib, T 0 ularning davri bo‘lsa,
f x

f x g x,
f x g x,
g x
g x  0

funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri T ga teng bo‘ladi.

y  sin x,
y  cos x
funksiyalar T 2
davrli funksiya bo‘lgan holda ushbu

x a cos x b sin x ( a, b,
o‘zgarmas, 0 )
T 2



ham,
funksiya ham davriy funksiya bo‘lib, uning davri
bo‘ladi. Haqiqatan

x 2 a cos x 2 b sin x 2
 
 



bo‘ladi.
a cos x 2 b sin x 2 a cos x b sin x x

Bu ataladi.
x a cos x b sin x sodda davriy funksiya bo‘lib, u garmonika deb

Aytaylik,
f x
funksiya , da uzluksiz bo‘lsin. Unda

f xcos nx ,
f xsin nx
n 1, 2,3,

funksiyalar ham ,
da uzluksiz bo‘lib, ular ,
da integrallanuvchi

bo‘ladi. Bu integrallarni quyidagicha belgilaymiz:





0


a 1



  1. n


    1




  1. n


    1


f xdx,


f xcos nxdx, f xsin nxdx.
n 1, 2,


n 1, 2,
(1)

Bu sonlardan foydalanib, ushbu
a0  a cos nx b


sin nx


2
n n
n1
(2)

qatorni ( uni trigonometrik qator deyiladi) hosil qilamiz.
(2) qator funksional qator bo‘lib, uning har bir hadi garmonikadan iborat.

Ta’rif. (2) funksional qator munosabatlar bilan aniqlangan
f x
funksiyaning Furye qatori deyiladi. (1)

a0 , a1 ,b1 , a2 ,b2 ,
sonlar Furye koeffitsiyentlari deyiladi.
7.2. Funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.

Demak, berilgan
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari shu funksiyaga

bog‘liq bo‘lib, (2) formulalar yordamida aniqlanadi, qator esa quyidagicha:

2
f x~ a0  a cos nx b sin nx

belgilanadi.


n n
n1 .

  1. misol. Ushbu

f x ex x
, 0
funksiyaning Furye qatori topilsin.

(1) formulalardan foydalanib, berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:


1
a0

e

xdx
1 e e 2

 
 
sh ,


1
an

ex cos nxdx
1 cos nx n sin nx

2 2


e x


n

1n 1 2 sh
  2n2
n 1, 2 ,


1
bn

ex sin nxdx


  1.  sin nx n cos nx



2n2

e x


1n1 1 2n sh

n 1, 2 ,

  2n2
Demak,

funksiyaning Furye qatori




f x ex

f x ex ~ a0  a cos nx b
sin nx


2
n n
n1
2sh 1 1n
2 2 n2 cos nx n sin nx

bo‘ladi.
n1



Aytaylik, U holda
f x
funksiya ,
da berilgan juft funksiya bo‘lsin:
f x f x.

f xcos nx juft,
f xsin nx toq n 1, 2,3,...
funksiya bo‘ladi.

(1) formulalardan foydalanib, topamiz:
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini

1 1 0
an f xcos nxdx f xcos nxdx f x cos nxdx


1
 0 


f xcos nxdx f xcos nxdx
 0 0 
2



f xcos nxdx
0
n 0,1, 2,

1 1 0
bn f xsin nxdx f xsin nxdx f xsin nxdx


1
 0 


f xsin nxdx f xsin nxdx 0
n 1, 2,

 0 0 

Demak, juft
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari
2



an f xcos nxdx
0
n 0,1, 2,

bo‘lib, Furye qatori


bo‘ladi.

Yüklə 443,26 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin