Keywords: Fourier series, Fourier coefficients. Fourier series expansion of functions.
1. Furye qatori.
Faraz qilaylik,
f x
funksiya
R ,
da berilgan bo‘lsin. Ma’lumki,
shunday T R \ 0
son topilsaki, x R da
f x T f x
tenglik bajarilsa,
f x
davriy funksiya, T 0 son esa uning davri deyiladi.
Agar T 0 son
f x
funksiyaning davri bo‘lsa, u holda
kT k 1, 2,
sonlar ham shu funksiyaning davri bo‘ladi.
Agar
f x va
g x
davriy funksiyalar bo‘lib, T 0 ularning davri bo‘lsa,
f x
f x g x,
f x g x,
g x
g x 0
funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri T ga teng bo‘ladi.
y sin x,
y cos x
funksiyalar T 2
davrli funksiya bo‘lgan holda ushbu
x a cos x b sin x ( a, b,
o‘zgarmas, 0 )
T 2
ham,
funksiya ham davriy funksiya bo‘lib, uning davri
bo‘ladi. Haqiqatan
x 2 a cos x 2 b sin x 2
bo‘ladi.
a cos x 2 b sin x 2 a cos x b sin x x
Bu ataladi.
x a cos x b sin x sodda davriy funksiya bo‘lib, u garmonika deb
Aytaylik,
f x
funksiya , da uzluksiz bo‘lsin. Unda
f xcos nx ,
f xsin nx
n 1, 2,3,
funksiyalar ham ,
da uzluksiz bo‘lib, ular ,
da integrallanuvchi
bo‘ladi. Bu integrallarni quyidagicha belgilaymiz:
0
a 1
n
1
n
1
f x dx,
f x cos nxdx, f x sin nxdx.
n 1, 2,
n 1, 2,
(1)
2
n n
n1
(2)
qatorni ( uni trigonometrik qator deyiladi) hosil qilamiz.
(2) qator funksional qator bo‘lib, uning har bir hadi garmonikadan iborat.
Ta’rif. (2) funksional qator munosabatlar bilan aniqlangan
f x
funksiyaning Furye qatori deyiladi. (1)
a0 , a1 ,b1 , a2 ,b2 ,
sonlar Furye koeffitsiyentlari deyiladi.
7.2. Funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.
Demak, berilgan
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari shu funksiyaga
bog‘liq bo‘lib, (2) formulalar yordamida aniqlanadi, qator esa quyidagicha:
2
f x ~ a0 a cos nx b sin nx
misol. Ushbu
f x ex x
, 0
funksiyaning Furye qatori topilsin.
(1) formulalardan foydalanib, berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:
1
a0
e
xdx
1 e e 2
sh ,
1
an
ex cos nxdx
1 cos nx n sin nx
2 2
e x
n
1n 1 2 sh
2 n2
n 1, 2 ,
1
bn
ex sin nxdx
sin nx n cos nx
2 n2
e x
1n1 1 2n sh
n 1, 2 ,
f x ex ~ a0 a cos nx b
sin nx
2
n n
n1
2sh 1 1n
2 2 n2 cos nx n sin nx
Aytaylik, U holda
f x
funksiya ,
da berilgan juft funksiya bo‘lsin:
f x f x.
f xcos nx juft,
f xsin nx toq n 1, 2,3,...
funksiya bo‘ladi.
1 1 0
an f xcos nxdx f xcos nxdx f x cos nxdx
1
0
f xcos nxdx f xcos nxdx
0 0
2
f xcos nxdx
0
n 0,1, 2,
1 1 0
bn f xsin nxdx f xsin nxdx f xsin nxdx
1
0
f xsin nxdx f xsin nxdx 0
n 1, 2,
0 0
Demak, juft
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari
2
an f xcos nxdx
0
n 0,1, 2,
bo‘lib, Furye qatori
bo‘ladi.
Dostları ilə paylaş: |