bn 0
n 1, 2,
n
f x ~ a0 a
2 n1
cos nx
Aytaylik,
f x
funksiya , da berilgan toq funksiya bo‘lsin:
f x f x . U holda
f xcos nx toq,
f xsin nx juft n 1, 2,3,...
funksiya bo‘ladi.
1 1 0
an f xcos nxdx f xcos nxdx f xcos nxdx
0
1
f xcos nxdx f xcos nxdx 0
0
n 0,1, 2,
1 1 0
bn f xsin nxdx f xsin nxdx f xsin nxdx
2
0
f xsin nxdx
n 1, 2,
0
an 0, n 0,1, 2,
2
bo‘ladi.
misol. Ushbu
f x x2
f x ~ bn sin nx
n1
x juft funksiyaning Furye qatori topilsin.
Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:
a0
2
x2dx
2 2,
0 3
an
2
x2 cos nxdx
sin nx
x 2
4 x sin nxdx
0 n 0 n 0
4 x cos nx 1 n 4
n n
n2 . n 1, 2,
0 0
Demak,
f x x2
funksiyaning Furye qatori
bo‘ladi.
2
f x x2 ~
3
41
n1
n cos nx n2
misol. Ushbu
f x x
x
toq funksiyaning Furye qatori topilsin.
Berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:
2 2
x cos nx 1
21n1
bn x sin nxdx n n cos nxdx n
0 0 0 .
Demak,
f x x funksiyaning Furye qatori
bo‘ladi.
f x ~
n1
1n1 2 sin nx n
Faraz qilaylik, Ma’lumki, ushbu
f x
funksiya p , p
p 0
segmentda uzluksiz bo‘lsin.
almashtirish p , p
t x p
oraliqni , ga o‘tkazadi, ya’ni x o‘zgaruvchi p , p da
o‘zgarganda t o‘zgaruvchi , da o‘zgaradi. Endi
f x f p t t .
deymiz. Unda t
funksiya ,
oraliqda berilgan uzluksiz funksiya bo‘ladi.
Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlari
1
n
1
n
t cos ntdt,
t sin ntdt
n 0 ,1, 2 ,
n 1, 2 ,
ni topib, Furye qatorini yozamiz:
2
t ~ a0 a
cos nt b
sin nt
ekan, unda
t x p
x ~ a0
cos n x b sin n
x ,
a
p 2 n
p n p
1 p
an
p p x cos n p xdx ,
n 0,1, 2
p
1 p
bn
p p x sin n p xdx .
n 1, 2
bo‘ladi. Natijada p , p
quyidagicha
da berilgan
f x
funksiyaning Furye qatorini
a0 n x n x
f x ~ an cos bn sin
2 p p
n1
bo‘lishini topamiz, bunda
1 p n x
an
f x cos dx
n 0,1, 2
1 p n
bn
f x sin
xdx
p
n 1, 2
misol. Ushbu
f x ex
1 x 1
funksiyaning Furye qatori topilsin.
Yuqoridagi formulalardan foydalanib, koeffitsiyentilarini topamiz:
f x ex
funksiyaning Furye
1 1 n sin n x cos n x 1
a0 exdx e e1,
1
an ex cos n xdx
1
1 n2 2
ex
1
1 e cos n e1
1 n2 2
cos n 1n
e e1
1 n2 2
n 1, 2 ,
bn
1
ex cos n xdx
1
sin n x n cos n x x
1
1
1 n2 2 e
1
1 n2 2
en cos n n e1 cos n
Demak,
n 1n
1 n2 2
n e e1
e 1 e 1 1
1 n2 2
n 1, 2,
e e1
1n
1n1
bo‘ladi.
ex ~
e e1
2 n1 1 n2 2
cos n
1 n2 2
n sin n x
Aytaylik,
f x funksiya a, b
da berilgan bo’lsin. a, b
segment ak
nuqtalar
yordamida bo‘laklarga ajratilgan.
(a0 a,
an b) .
bo‘lib,
x ak
nuqtalarda chekli o‘ng
f ak 0 k 0,1, 2, , n 1 ,
va chap
f ak 0 k 0,1, 2,
hosilalarga ega bo‘lsa, deyiladi.
f x
funksiya a, b
da bo‘lakli-differensiallanuvchi
Endi Furye qatorining yaqinlashuvchi bo‘lishi haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema. 2 davrli
f x
funksiya , oraliqda bo‘lakli-differensiallanuvchi
bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Furye qatori
f x ~ a0 a cos kx b
sin kx
2
k k
k 1
, da yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi
f x 0 f x 0
2
ga teng bo‘ladi.
misol. Ushbu
f x cos ax
x , a n Z
funksiyaning Furye qatori
topilsin va u yaqinlashishga tekshirilsin.
Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft bo‘lgani uchun
bo‘lib,
bn 0
n 1, 2,3,
2
an cos ax cos nxdx cos a n x cos a n x dx
0 0
sin a 1n 1 1
bo‘ladi. Demak,
a n a n
n1
sin a 1 n 1 1
n a
f x ~
a 1
a
unda
Agar
f x cos ax funksiya teoremaning shartlarini bajarishini e’tiborga olsak,
sin a 1 n 1 1
cos ax
a 1
a
bo‘lishini topamiz.
n1
n a
|