Science and Education



Yüklə 443,26 Kb.
səhifə3/4
tarix21.12.2023
ölçüsü443,26 Kb.
#188983
1   2   3   4
4801-Article Text-9312-1-10-20230125 (1)

bn  0
n 1, 2,





n
f x~ a0 a
2 n1

cos nx



Aytaylik,
f x
funksiya , da berilgan toq funksiya bo‘lsin:

f x f x. U holda

f xcos nx toq,
f xsin nx juft n 1, 2,3,...
funksiya bo‘ladi.

(1) formulalardan foydalanib, topamiz:
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini

1 1 0
an f xcos nxdx f xcos nxdx f xcos nxdx
  0 
1



f xcos nxdx f xcos nxdx 0
0
n 0,1, 2,

1 1 0
bn f xsin nxdx f xsin nxdx f xsin nxdx


2
 0 


f xsin nxdx
n 1, 2,

 0 

Demak, toq
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

an 0, n 0,1, 2,
2

bo‘lib, Furye qatori
bn f xsin nxdx, n 1, 2,


0

bo‘ladi.

  1. misol. Ushbu

f x x2



f x~ bn sin nx
n1
x juft funksiyaning Furye qatori topilsin.

Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:

a0


2
x2dx
22,

0 3

an


2
x2 cos nxdx

  1. sin nx

x 2
4 x sin nxdx



0  n 0 n 0
4 x cos nx 1 n 4

n n

  • n cos nxdx 1

n2 . n 1, 2,

0 0

Demak,
f x x2
funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.
2


f x x2 ~
3



41
n1
n cos nx n2

  1. misol. Ushbu

f x x
x
toq funksiyaning Furye qatori topilsin.

Berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:

2 2
x cos nx 1
21n1

bn x sin nxdx n n cos nxdx n
0 0 0 .

Demak,
f x x funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.



f x~
n1
1n1 2 sin nx n

Faraz qilaylik, Ma’lumki, ushbu


f x
funksiya p , p
p 0

segmentda uzluksiz bo‘lsin.



almashtirish p , p


t x p
oraliqni , ga o‘tkazadi, ya’ni x o‘zgaruvchi p , p da

o‘zgarganda t o‘zgaruvchi , da o‘zgaradi. Endi
f x f p t t .


deymiz. Unda t
funksiya ,
 
oraliqda berilgan uzluksiz funksiya bo‘ladi.

Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

  1. 1

n

  1. 1

n

t cos ntdt,


t sin ntdt

n 0 ,1, 2 ,


n 1, 2 ,

ni topib, Furye qatorini yozamiz:

2
t ~ a0  a
cos nt b


sin nt

Modomiki,


n n
n1 .

ekan, unda
t x p

x ~ a0

cos n x b sin n




x ,

a
p 2 n
p n p

 
bo‘lib, uning koeffitsiyentlari
n1  

1 p

an
p p x cos n p xdx ,
n 0,1, 2

p
1 p

bn
p p x sin n p xdx .
n 1, 2

  • p

bo‘ladi. Natijada p , p
quyidagicha
 
da berilgan


f x

funksiyaning Furye qatorini



a0 n x n x


f x~ an cos bn sin
2 p p
n1  
bo‘lishini topamiz, bunda

1 p n x

an
f xcos dx


  • p

    p
    p

n 0,1, 2

1 p n

bn
f xsin


  • p
    p

xdx
p
n 1, 2

  1. misol. Ushbu

f x ex
1 x 1
funksiyaning Furye qatori topilsin.

Yuqoridagi formulalardan foydalanib, koeffitsiyentilarini topamiz:
f x ex
funksiyaning Furye

1 1 n sin n x  cos n x 1

a0 exdx e e1,
1
an ex cos n xdx
1
1 n2 2
ex
1



1 e cos n e1
1 n22
cos n 1n
e e1
1 n22
n 1, 2 ,




bn

1
ex cos n xdx


1
sin n x n cos n x x

1

1
1 n22 e

1
1 n22
en cos n n e1 cos n

Demak,
n 1n
1 n2 2
ne e1

e 1e 1 1
1 n22
n 1, 2,

funksiyaning Furye qatori


f x ex
1 x 1

e e1
1n
1n1

bo‘ladi.
ex ~
e e1
2 n1 1 n2 2
cos n


1 n2 2
n sin n x


Aytaylik,
f xfunksiya a, b
da berilgan bo’lsin. a, b
segment ak
nuqtalar

yordamida bo‘laklarga ajratilgan.
(a0 a,
an b) .

Agar har bir ak , ak 1
k 0,1, 2,
da f x
funksiya differensiallanuvchi

bo‘lib,
x ak
nuqtalarda chekli o‘ng
f ak 0 k 0,1, 2, , n 1,

va chap


f ak 0 k 0,1, 2,

hosilalarga ega bo‘lsa, deyiladi.
f x
funksiya a, b
da bo‘lakli-differensiallanuvchi

Endi Furye qatorining yaqinlashuvchi bo‘lishi haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

Teorema. 2 davrli
f x
funksiya , oraliqda bo‘lakli-differensiallanuvchi

bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Furye qatori

f x~ a0  a cos kx b
sin kx


2
k k
k 1
, da yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi
f x 0 f x 0
2

ga teng bo‘ladi.

  1. misol. Ushbu



f x cos ax

x , a n Z


funksiyaning Furye qatori



topilsin va u yaqinlashishga tekshirilsin.
Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft bo‘lgani uchun

bo‘lib,
bn  0


n 1, 2,3,


   
2  
an  cos ax cos nxdx  cos a n x  cos a n x dx
0 0
sin a 1n 1 1


bo‘ladi. Demak,
a n a n




n1
sin a 1 n 1 1




n a




f x~
a 1
a

  • n cos nx .

unda
Agar


f x cos ax funksiya teoremaning shartlarini bajarishini e’tiborga olsak,

sin a 1 n 1 1

cos ax
a 1
a

  • n cos nx

bo‘lishini topamiz.


n1
n a




Yüklə 443,26 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin