Silindrik va sferik koordinatalar

tekislikdagi proyeksiyasi va ^х o‘qi orasidagi burchak esa azimut bo‘ladi. Shu orqali burchaklarning nomlanishini asoslash mumkin va sferik koordinatalar sistemasini
fazoviy koordinatalar sistemasi turini umumlashtirish sifatida qarash mumkin.
^Р nuqtaning joylshuvi sferik koordinatalar sistemasida ^{r, , } uchlik orqali aniqlanadi, bu yerda

1. 
   berilgan ^Р nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir,
   

ya’ni
r  0 _;

2. 
   ^Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va ^z o‘qi orasidagi ^
   

burchak uchun
^{0    180 } munosabat o‘rinli;

3. 
   ^Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning ^ху tekislikga
   

proyeksiyasi va ^х o‘qi orasidagi ^ burchak uchun
0    360
munosabat o‘rinli.

^ burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi. ^ ga esa azimut burchagi deyiladi. ^ va

^ burchaklar
r  0
bo‘lganda aniqlanmagan. Bundan tashqari
sin  0
ya’ni
  0

yoki
  180 
bo‘lganda ^ burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11

standartda qayd qilingan. Bundan tashqari, ^ zenit burchak o‘rniga ^Р radius vektor

va ^ху tekislik orasidagi
90 
ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga

kenglik deyiladi va ^у ham ^ harfi bilan belgilanadi. Kenglik
 90    90

oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda ^ va ^ burchaklar
r  0
bo‘lganda

ma’noga ega emas;

2. Chiziqlarning parametrik tenglamasi.

Birinchidan, biz kosmosdagi to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasini olamiz. Yuqorida, vektor tengligi yozilganda, unda mavjud bo'lgan parametr haqida allaqachon aytib o'tilgan edi. Parametrik tenglamani olish uchun vektorni kengaytirish kifoya. Biz olamiz:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Har biri bittadan o'zgaruvchan koordinatali va a parametrga ega bo'lgan ushbu uchta chiziqli tenglikning kombinatsiyasi odatda kosmosdagi to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasi deb ataladi. Darhaqiqat, biz hech qanday yangi ish qilmadik, balki shunchaki mos keladigan vektorli ifodaning ma'nosini aniq yozib oldik. Biz faqat bitta fikrni ta'kidlaymiz: a soni, o'zboshimchalik bilan bo'lsa ham, uchta tenglik uchun bir xil. Masalan, agar 1-tenglik uchun a =-1,5 bo'lsa, u holda uning koordinatalarini nuqtaning koordinatalarini aniqlashda ikkinchi va uchinchi tengliklarga almashtirish kerak.
Tekislikdagi tekis chiziqning parametrik tenglamasi fazoviy holatga o'xshaydi. Bu shunday yozilgan:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun u uchun vektor tenglamasi aniq yozilishi kerak.
Tenglamani kanonik ravishda olish

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kosmosdagi va tekislikdagi to'g'ri chiziqni belgilaydigan barcha tenglamalar bir-biridan olinadi. To'g'ri chiziqning parametrli tenglamasidan kanonikani qanday olishni ko'rsatamiz. Mekansal ish uchun bizda:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Parametrni har bir tenglikda ifodalaymiz:
a = (x - x 0) / a;
a = (y - y 0) / b;
a = (z - z 0) / c
Chap tomonlari bir xil bo'lgani uchun, tengliklarning o'ng tomonlari ham bir-biriga teng:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c
Bu kosmosdagi to'g'ri chiziq uchun kanonik tenglama. Har bir ifodadagi maxrajning qiymati mos keladigan koordinatadir.Har bir o'zgaruvchidan chiqariladigan numeratordagi qiymatlar shu chiziqdagi nuqtaning koordinatalari.
Samolyotda ish uchun mos keladigan tenglama quyidagi shaklni oladi:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b


3. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi: klassifikatsiya qilish va
kanonik ko‘rinishga keltirish

Ikkinchi darajali Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F =0 tеnglama bеrilgan bo’lsin.

Bu еrda A,B,C,D,E,F – bеrilgan haqiqiy sоnlar. Bunda A2 +B2 +C2 0.
Bu chiziq ikkinchi tartibli chiziq dеyiladi. Tenglama koeffitsiyentlarining qiymatlariga qarab, turli egri chiziqlarni tasvirlash mumkin. Biz keyinchalik bu tenglama koeffitsiyentlarining qanday qiymatlarida qanday chiziqni tasvir etishi masalasi bilan tanishib chiqamiz. Umuman olganda tеnglamani qanоatlantiruvchi kооrdinatalari haqiqiy bo’lgan (х, y) nuqtalar mavjud bo’lmasligi ham mumkin.
Bu hоlda, tеnglama mavhum chiziqni aniqlaydi. Masalan, mavhum aylana:
umumiy tеnglamaning muhim хususiy hоllarini ko’rib chiqamiz.
Endi (1) parbolada boshqa koordinatalar sistemasiga o’tamiz ya’ni ushbu
almashtirishni olamiz.U holda parabola ko’rinishga keladi. Biz qulaylik uchun
desak, oxirgi tenglik quyidagi ko’rinishga keladi:
y2 = 2px, p > 0 (3)
(3) tenglamaga tekislikda parabоlaning kanonik tenglamasi dеyiladi.Endi biz (3) dagi p - koeffitsientning geometrik o’rnini aniqlaymiz. Buning uchun Ox o’qda absissali parabоla fоkusi dеb ataladigan nuqtani va parabоla dirеktrisasi dеb ataluvchi to’g’ri chiziqni o’tkazamiz.