Sonli ketma-ketliklar

Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.
Teorema. (Bol’tsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo’lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo’lsa, u holda f(c)=0 tenglikni qanoatlantiradigan c (a<c<b) son topiladi.
Isbot. f(a)>0, f(b)<0 bo’lsin, [a;b] ni teng ikki [ ] va [ ] qismga bo’lamiz. Agar f( )=0 bo’lsa, teorema isbot qilingan bo’ladi. f( )0 bo’lsin, u holda bo’lakchalarning birining uchlarida funksiya qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo’ladi. Usha kesmani [a₁;b₁] orqali belgilaymiz. f(a₁)>0, f(a₂)<0 bo’ladi. Endi [a₁;b₁] ni teng ikkiga bo’lamiz va yuqoridagi mulohazani [a₁;b₁] ga nisbatan takrorlaymiz va hakoza. Umuman quyidagi ikki holdan biri yuz beradi:
1) biror nuqtada f(x) funksiya 0 ga teng bo’ladi, yoki
2) Barcha n uchun f( )0 bo’lib, bu jarayon cheksiz davom etadi.
Bunda 1) holda teorema isbot qilingan bo’ladi;

1. 
   holda esa [a₁;b₁], [a₂;b₂], ..., [a_n;b_n], ... ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Bunda f(a_n)>0, f(b_n)<0, n=1, 2, ... bo’ladi. Ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teoremaga binoan a_n= b_n=c [a;b], f(x) funksiya uzluksiz bo’lgani uchun
   

f(c)= f(a_n) 0, f(c)= f(b_n) 0
bo’ladi. Bulardan f(c)=0 kelib chiqadi.
Bu teoremadan tenglamalarning yechimi mavjudligini ko’rsatishda foydalanish mumkin.
Misol. x⁷+x³+1=0 tenglamaning [-1;0] segmentda yechimga ega ekanligini ko’rsating.
f(x)= x⁷+x³+1=0 deb olsak, f(-1)=-1<0, f(0)=1>0 bo’ladi. f(x) funksiya [-1;0] segmentda uzluksiz bo’lganligidan yuqoridagi teoremaga binoan birorta c (-1;0) son topilib, f(c)=0 bo’ladi.