Sonli ketma-ketliklar

2- t а ‘ r i f : Аgаr {x_n} kеtmа-kеtlikning hаdlаri quyidаgi
x₁  x₂  x₃  . . .  x_n  . . . (x₁ > x₂ > x₃ > . . . > x_n > . . . )
tеngsizliklаrni qаnоаtlаntirsа, ya’ni  nN uchun
х_n  x_n+1 (x_n>x_n+1)
bo’lsа, {х_n} kаmаyuvchi (qаt’iy kаmаyuvchi) kеtmа-kеtlik dеyilаdi.
O’suvchi (qаt’iy o’suvchi), kаmаyuvchi (qаt’iy kаmаyuvchi) kеtmа-kеtliklаr mоnоtоn kеtmа-kеtliklаr dеyilаdi.
Misоl. Ushbu kеtmа-kеtlikning o’suvchi ekаnini ko’rsаting.

Ajoyib limitlar.
Reja.

1. 
   Ajoyib limitlar.
   
2. 
   Limitga ega bо‘lgan funksiyalarning xossalari. 1⁰ . Ajoyib limitlar. Faraz qilaylik, da bо‘lsin. Bu funksiya uchun
   

bо‘ladi.
◄Ma’lumki, uchun bо‘ladi. Bu tengsizliklardan, funksiyalarning juftligini hisobga olib, da bо‘lishini topamiz. Keyingi tengsizliklardan esa

bо‘lishi kelib chiqadi.
Endi ni olib, deyilsa, unda uchun

bо‘ladi. Demak,
. ►
2⁰. Limitga ega bо‘lgan funksiyalarning xossalari. Chekli limitga ega bо‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, funksiya tо‘plamda berilgan bо‘lib, nuqta ning limit nuqtasi bо‘lsin.
1-xossa. Agar da funksiya limitga ega bо‘lsa, u yagona bо‘ladi.
◄Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.►
2-xossa. Agar
, ( chekli son)
bо‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bо‘ladi.
◄Aytaylik, bо‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
da
ya’ni bо‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. ►
3-xossa. Agar

bо‘lib, bо‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda bо‘ladi.
◄Shartga kо‘ra
.
Funksiyaning limiti ta’rifiga kо‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun

bо‘ladi. Bu esa da bо‘lishini bildiradi. ►
Faraz qilaylik, va funksiyalar tо‘plamda berilgan bо‘lib, nuqta tо‘plamning limit nuqtasi bо‘lsin.
4-xossa. Agar
,
bо‘lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya’ni

bо‘ladi.
◄ Aytaylik, , bо‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga kо‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun
da (1)
bо‘ladi.
Ravshanki, da
(2)
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bо‘lishini topamiz. ►
5-xossa. Faraz qilaylik,

limitlar mavjud bо‘lsin. U holda
a) da ;
b)
v)
g) Agar bо‘lsa,
bо‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumot-lardan kelib chiqadi.