Sonli ketma-ketliklar

Uzluksiz funksiyalarning oraliq qiymatlari haqidagi teorema.
Teorema. (Bol’tsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo’lib, f(a)=A, f(b)=B va A<B bo’lsa, u holda A<C<B ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday c (a;b) son topilib, f(c)=C bo’ladi.
Isbot. Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. (x) Bol’tsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) (x) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir.
2) (a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0.
Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, (c)=0, yoki f(c)-C=0, ya’ni f(c)=C bo’ladi.
Demak, [a;b] da uzluksiz bo’lgan funksiya o’zining ikki qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, uning qiymatlari biror Y oraliqni tutash to’ldiradi.
Teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaning qiymatlar to’plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo’lib, u uzluksiz va qat’iy o’suvchi (kat’iy kamayuvchi) bo’ladi.
Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo’lgani uchun Bol’tsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to’ldiradi. Shuning uchun har bir y₀ Y ga mos keladigan X topilib, f( )=y₀ bo’ladi. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi yagona bo’ladi. Haqiqatan, dan farqli x₁ nuqta olsak, f(x) funksiya monoton bo’lib,  x₁ bo’lgani uchun f( ) f(x₁) bo’ladi. Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f(x)=y tenglikni qanoatlantiradigan yagona x mavjud. Demak, Y oraliqda y=f(x) funksiyaga teskari bo’lgan x=(y) funksiya mavjud.
y=f(x) funksiya o’suvchi bo’lsa, x= (y) ni ham o’suvchi bo’lishini ko’rsatamiz, ya’ni y₁₂ bo’lganda x₁₂ tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz.
Teskarisini faraz qilaylik: y₁₂ bo’lganda x₁>x₂ bo’lsin. U holda y=f(x) funksiya qat’iy o’suvchi bo’lganligi uchun f(x₁)>f(x₂), ya’ni y₁>y₂ bo’ladi. Bu esa y₁₂ deb olinishga ziddir. Demak, x= (y) funksiya Y da qat’iy o’suvchi.
Monoton funksiyaning uzluksizligi haqidagi teoremaga binoan, x= (y) funksiya Y oraliqda uzluksiz bo’ladi.
y=f(x) funksiya kamayuvchi bo’lganda ham teorema yuqoridagidek isbotlanadi.