Sonli ketma-ketliklar

Funksiyaning o`sish va kamayish shartlari

Funksiyaning o`zgarish xarakteri bilan uning hosilasi orasida bog`-liqlik mavjud bo`lib, hosila yordamida fiinksiya tabiatiga mansub bir qator xossalarni aniqlash mumkin.

V= [a;b] oraliqda у = f(x) fiinksiya berilgan bo`lib, har qanday shu oraliqdan tanlanadigan ikki x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> sonlar uchun x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> munosabatdan f(x<sub>1</sub>)2) (f(x<sub>1</sub>)>f(x<sub>2</sub>)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda у = f(x) funksiya V oraliqda o`suvchi (kamayuvchi) deyilishini eslatib o`tamiz (3-§ ga qarang).
V= [a;b] kesmada aniqlangan у = f(x) funksiya, shu kesmada uzluksiz va (a;b) intervalda differensiallanuvchi bolsin. Funksiyaning V oraliqda o`sishi (yoki kamayishi)ning yetarli sharti quyidagi teoremadan iborat.
1 - Teorema. V oraliqda differensiallanuvchi f(x) funksiya shu oraliqda o`suvchi (kamayuvchi) bo`lishi uchun, oraliqning har bir ichki nuqtasida P(x) hosilaning musbat (manfiy) bo`lishi yetarli.
X oraliqqa tegishli har qanday x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar qaralmasin, [x<sub>1</sub>;x<sub>2</sub>] kesmada f(x) funksiya uchun Lagranj teoremasi o`rinli, ya`ni, f(x<sub>2</sub>) - f(x<sub>1</sub>) = f(c) (x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>), bu yerda x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> va с € (x<sub>1</sub>;x<sub>2</sub>). Tenglikdan, agar f(c) > 0 bo`lsa, f(x₂) > f(x₁) va funksiya o`suvchi, agarda f(c) < 0 bo`lsa, f(x₂)< f(x₁) va funksiya kamayuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Funksiya monotonlik alomatlarining geometrik izohi 1 rasmlarda keltirilgan.
у = f(x) funksiya grafigiga o`tkazilgan urinmalar X oraliq ichki nuqtalarida OX o`qi musbat yo`nalishi bilan o`tkir burchak hosil etsa, funksiya o`suvchi, o`tmas burchak hosil qilsa kamayuvchidir.
Masala. у = x- e^-2x funksiyani monotonlikka tekshiring.
Berilgan funksiya R da aniqlangan va har bir x€R nuqtada y`(x) = e<sup>-2x</sup> · (1 - 2x) hosilaga ega bo`lib, differensiallanuvchidir. Agar x < 1/2 bo`lsa, y`(x) > 0 bo`lib, funksiya o`suvchi, agarda x > 1/2 bo`lsa, y(x) <0 bo`lib, funksiya kamayuvchidir.
Demak, у = х·е^-2х fijnksiya (-∞; l/2) oraliqda monoton o`suvchi, (l/2; ∞) oraliqda esa monoton kamayuvchidir.
Masala. f(x) = x-arctgx fiinksiyaning sonlar o`qida o`suvchi ekanligini isbotlang.
f ` (x) = (x-arctgx)` = 1 - 1/1+x<sup>2</sup> bo`lib, har bir x€R uchun, f `(x) > 0. Demak, funksiya R da monoton o`suvchi.