Statistik taxminlar va ularning turlari. Statistik taxminlarni tekshirish

3.A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati


X₁,X₂, ..., X_n kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini tuzamiz. Faraz qilamiz, F(x) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz

Glivenko teoremasiga ko‘ra n yetarli katta bo‘lganda D_n kichik qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H₀ o‘rinli bo‘lsa D_n statistika kichik bo‘lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D_n statistikaning shu xossasiga asoslangandir.

Teorema(Kolmogorov).
Ixtiyoriy uzluksiz F(x) taqsimot funksiyasi va λ uchun

bo‘ladi.
D_n – statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi
.

Bu yerdan 0<α<1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.

Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. 
   D_n – statistikaning H₀ gipoteza to‘g‘ri bo‘lgandagi taqsimoti F(x) bog‘liq emas;
   
2. 
   Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo‘lgandayoq teoremadagi yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya’ni ni K(λ) bilan almashtirishdan yo‘l qo‘yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
   

Bu xulosalardan kelib chiqadiki, n ≥ 20 bo‘lsa kritik chegara t_α ni ga teng deb olish mumkin. Bu yerda λ_α K(λ_α) = 1- α tenglamaning ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun
.
Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   berilgan α orqali K(λ_α) = 1- α tenglama yechimi λ_α jadval yordamida topiladi.
   
2. 
   berilgan tajriba natijalari x₁, x₂, …, x_n larga ko‘ra t=D_n(x₁, x₂, …, x_n) qiymati hisoblanadi,
   
3. 
   va λ_α solishtiriladi, agar bo‘lsa asosiy gipoteza H₀ rad eriladi, aks holda tajriba H₀ ni tasdiqlaydi.