Taylor Polynomial & Max-Min Problems 104003 Differential and Integral Calculus I



Yüklə 124,32 Kb.
Pdf görüntüsü
tarix07.01.2017
ölçüsü124,32 Kb.
#4847

Taylor Polynomial & Max-Min Problems 

104003 Differential and Integral Calculus I 

Technion International School of Engineering 2010-11 

Tutorial Summary – February 16, 2011 – Kayla Jacobs 

Taylor Polynomial

 

 



If function f(x) can be differentiated (at least) n times in the neighborhood of point x = a

 

then the n



th

-degree Taylor polynomial of f(x) at x = a is: 

 

 



ܶ

ሺݔ, ܽሻ  ൌ    ݂ሺܽሻ ൅ 



݂

ሺܽሻ



1! · ሺݔ െ ܽሻ ൅ 

݂

ᇱᇱ



ሺܽሻ

2! · ሺݔ െ ܽሻ

൅ 

݂



ሺଷሻ

ሺܽሻ


3! · ሺݔ െ ܽሻ

൅ … ൅



݂

ሺ௡ሻ


ሺܽሻ

݊! · ሺݔ െ ܽሻ

 

 



ൌ   ෍

݂

ሺ௞ሻ



ሺܽሻ

݇! · ሺݔ െ ܽሻ



௞ୀ଴



 

 

This is the best possible n-degree approximation of f(x)  “near”  



x = a

The more terms you include (the higher n is), and/or the closer to x = a… the better the approximation.  



 

As 


݊ ՜ ∞, the Taylor polynomial coverges to the exact function f

It’s then is called the “Taylor series of f.”  (Note then it doesn’t matter how “near” you are to x = a.) 

 

For 


݊ ൌ 1, you simply get the linear approximation we’ve already learned about! 

 

ࢌሺ࢞ሻ ൎ ࢌሺࢇሻ ൅ ࢌ



ሺࢇሻ · ሺ࢞ െ  ࢇሻ  when ݔ ൎ ܽ 

 

 

Remainder:



  

ܴ



ሺݔ, ܽሻ is the n

th

-degree remainder for f(x) at x = a

This is the error made by the approximation of f as a Taylor polynomial: 

 

 ܴ



ሺݔ, ܽሻ ൌ ݂ሺݔሻ െ ܶ

ሺݔ, ܽሻ 



 

                  ൌ

݂

ሺ௡ାଵሻ


ሺݖሻ

ሺ݊ ൅ 1ሻ! ሺݔ െ ܽሻ

௡ାଵ

 

 



 

Maclaurin Polynomial

 

Special case of Taylor polynomial, when 



= 0.    

ܶ



ሺݔ, 0ሻ ൌ ∑

ሺೖሻ



ሺ଴ሻ

௞!

· ݔ



௞ୀ଴



 

 

Common Maclaurin series (as 

݊ ՜ ∞ሻ

: 



• 

ଵି௫



ൌ 1 ൅ ݔ ൅ ݔ

൅ ݔ



൅ ڮ ൌ ∑


ݔ



௞ୀ଴

                    (for 

|ݔ| ൏ 1ሻ 

 

• 



ଵା௫


ൌ 1 െ ݔ ൅ ݔ

െ ݔ



൅ ڮ ൌ ∑ ሺെ1ሻ

· ݔ


௞ୀ଴



      (for 

|ݔ| ൏ 1ሻ 

• 

sinሺݔሻ ൌ ݔ െ



ଷ!





ହ!

െ ڮ ൌ ∑


ሺିଵሻ

ሺଶ௞ାଵሻ!



௞ୀ଴


· ݔ

ଶ௞ାଵ


   (for all real 

ݔ) 


• 

cosሺݔሻ ൌ 1 െ



ଶ!





ସ!

െ ڮ ൌ ∑


ሺିଵሻ

ሺଶ௞ሻ!



௞ୀ଴


· ݔ

ଶ௞

          (for all real 



ݔ) 

• 

݁



ൌ 1 ൅ ݔ ൅ 



ଶ!





ଷ!

൅ ڮ ൌ ∑


௞!



௞ୀ଴


                        (for all real 

ݔ) 


 

DeMoivre’s Theorem 

 

݁



௜௫

ൌ cosሺݔሻ ൅  ݅ · sin ሺݔሻ

                         (derivable from the Maclaurin series for sin(x), cos(x), and 

݁



 

… where z is a number between a and x



Calculus – Tutorial Summary – February 16, 2011  

 

  



 

Maclaurin Polynomial Example:  sin(x)

 

The graphs below show the actual function, 



sinሺݔሻ, and its Maclaurin polynomial for various values of n

As 


݊ ՜ ∞, the Maclaurin series is

:  


sinሺݔሻ ൌ ݔ െ



ଷ!



ହ!

െ ڮ ൌ ∑



ሺିଵሻ

ሺଶ௞ାଵሻ!



௞ୀ଴


· ݔ

ଶ௞ାଵ


 

Note that there are no even-n terms, so 

ܶ

ଶ௡

ሺݔሻ ൌ ܶ



ଶ௡ିଵ

ሺݔሻ  


 

n = 1 

 

ܶ



ሺݔሻ ൌ ݔ 

 

 



n = 3 

ܶ



ሺݔሻ ൌ ݔ െ

ݔ



3!

 

 



 

n = 5 

ܶ



ሺݔሻ ൌ ݔ െ

ݔ



3! ൅

ݔ



5!

 

 

 

… n = 15 

ܶ

ଵହ



ሺݔሻ ൌ ݔ െ

ݔ



3! ൅

ݔ



5! െ

ݔ



7! ൅

ݔ



9! െ

ݔ

ଵଵ



11! ൅

ݔ

ଵଷ



13! െ

ݔ

ଵହ



15!

 

 



 

Now take a look at n = 99. It agrees very well with the actual 

sinሺݔሻ curve until you get out to about x = 35, 

 

when it goes crazy. Here is a picture of the x-interval (34, 39): 



(Remember, the polynomial is “centered” at = 0, so x = 35 is quite far away from the center.) 

 

Max-Min Problems 

x=33 


x=39 

Calculus – Tutorial Summary – February 16, 2011  

 

  



 

(Adapted from 



http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/maxmindirectory/MaxMin.html

)

 

1. Read each problem slowly and carefully. If you misread the problem or hurry through it, you 

have NO chance of solving it correctly. 

2. If appropriate, draw a sketch or diagram of the problem to be solved. Pictures are a great help in 

organizing and sorting out your thoughts. 

3. Define variables to be used and carefully label your picture or diagram with these variables. This 

step is very important because it leads directly or indirectly to the creation of mathematical 

equations. 

4. Write down all equations which are related to your problem or diagram. Clearly denote that 

equation which you are asked to maximize or minimize. 

•  Experience will show you that MOST optimization problems will begin with two equations. 

One equation is a "constraint" equation and the other is the "optimization" equation

 

•  The "constraint" equation is used to solve for one of the variables. This is then 



substituted into the "optimization" equation before differentiation occurs. 

 

•  Some problems may have NO constraint equation. Some problems may have two or more 



constraint equations. 

5. Before differentiating, make sure that the optimization equation is a function of only one 



variable

6. Differentiate using the well-known rules of differentiation. Solve for the variable value(s) that 

satisfy the derivative being set to 0

6. Verify that your result is a maximum or minimum value using the first or second derivative 

test for extrema. 

7. If appropriate, don’t forget to check the endpoints, which might be the global 



maximum/minimum. 

 

Yüklə 124,32 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin