Tekis shakllarning asosiy geometrik tavsiflari

Tekis shakllarning perispektivasini qurish


Reja:

1. 
   Og`irik markazi
   
2. 
   Tekis shakllarning geometrik tavsiflari
   
3. 
   Eng oddiy tekis shakllarning inersiya momentlarini hisoblash
   

Ma`lumki, har qanday jismni juda ko`p kichik zarrachalar yig`indisidan
iborat deyish mumkin; bu zarrachalarning og`irliklarini Yerning radiusi bo`ylab uning markaziga tomon yo`nalgan deb qarash mumkin.
Mexanikada o`rganilayotgan va muhandislik amaliyotida ishlatilayotgan jismlarning o`lchamlari Yerning o`lchamiga (uning radiusi taxminan 6371 km) nisbatan juda ham kichikdir. Shu bois statikada muvozanati o`rganilayotgan jismlarni kichik bo`lakchalardan iborat va bu bo`lakchalarning og`irlik kuchi o`zaro parallel yo`nalgan deb qaraladi.
Qattiq jismni tashkil etgan n ta zarrachalarning og`irlik kuchlari o`zaro parallel bo`lib, ularning teng ta`sir etuvchisi mazkur jismning og`irlik kuchi, parallel kuchlarning markazi esa jismning og`irlik markazi deyiladi.
Nazariy mexanikaning to`la kursida jismlarning og`irlik markazi koordinatalari quyidagicha aniqlanishi isbotlangan:

Bu yerda G_i — i-chi zarrachaning og`irlik kuchi. x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>— i-chi zarrachaning koordinatalari.
Bir jinsli* jismning og`irlik kuchi G hajm V orqali quyidagicha aniqlanadi:

Bu yerda γ - hajm birligiga to`g`ri kelgan og`irlik; ko`pincha γ solishtirma og`irlik deb ham yuritiladi va tajribalardan aniqlanadi; masalan, po`lat materiali uchun γ=7 8,5 kN/m³ ga, qara`g`ay uchun esa γ = 5,5 kN/m³ ga tengdir.
Ixtiyoriy i-chi zarrachaning og`irligi esa

ga teng. Natijada, og`irlik markaz koordinatalari hajm orqali quyidagi ko`rinishda ifodalanadi:

Endi jismning og`irligini yuza orqali ifodalaymiz. Ma`lumki, bir jinsli va h=const qalinlikdagi plastinkaning og`irligi

formuladan aniqlanadi.
Bu yerda A —plastinkaning yuzasi.
Plastinkadan olingan i-chi zarracha

og`irlikka ega. U holda og`irlik markazi koordinatalari yuza orqali quyidagicha ifodalanadi:

ko`rinishda aniqlanadi.
Bu yerda A<sub>i</sub> – i-chi zarrachaning yuzasi.
Jismlarning og`irlik markazini aniqlashning bir necha usullari mavjud:
- simmetriya usuli:
- bo`lakchalarga bo`lish usuli;
- manfiy yuza usuli;
- taroziga tortish usuli.
Simmetriya usuli. Agar bir jinsli jism simmetriya tekisligiga ega bo`lsa, uning og`irlik markazini aniqlash ancha osonlashadi.
Faraz qilaylik, jism XOZ simmetriya tekisligiga ega bo`lsin (1.38-shakl).
Bu holda jismning G<sub>i</sub> og`irlikdagi yi=+a koordinataga ega bo`lgan zarrachasiga y=-a koordinatali zarrachasi mos keladi. Shu sababli

bo`ladi.
Bundan quyidagi muhim xulosalar kelib chiqadi:
- simmetriya tekisligiga ega bo`lgan bir jinsli jismning og`irlik markazi simmetriya tekisligida yotadi;
- agar jism simmetriya o`qiga ega bo`lsa, uning og`irlik markazi simmetriya o`qida yotadi.
1.Tekis shakllarning statik momentlari.
Tekis shakllarning o`qqa nisbatan statik momentlari, inersiya momentlari va qarshilik momentlari tekis shakllarning geometrik tavsiflari deb aytiladi.
Tekis shakllarning statik momentlarini topish uchun og`irlik markaz koordinatalarini aniqlashda foydalaniladigan formulalarni quyidagi integral (yig`indi) ko`rinishda ifodalaymiz :

bunda x – elementar A yuzadan ordinata o`qigacha bo`lgan masofa;
y – elementar A yuzadan abssissa o`qigacha bo`lgan masofa;
A – tekis shaklning yuzasi.
Bu formulalarning o`ng tomonlaridagi kasrlarning suratidagi integralga tekis shaklning x va y koordinata o`qlariga nisbatan statik momentlari deb atalib, tegishlicha S_x va S_y harflari bilan belgilanadi:

S tatik momentlar uzunlik o`lchovining uchinchi darajasi, ya`ni m³ da o`lchanib, musbat, manfiy va nol qiymatlariga ega bo`ladi.
(1.38) ni e`tiborga olib, tekis shakllarning og`irlik markaz koordinatalarini

ko`rinishda yozish mumkin.
Koordinata o`qlaridan biri yoki ikkalasi ham tekis shaklning og`irlik markazidan o`tsa, bunday o`qlar markaziy o`qlar deyiladi. Oxirgi formuladan markaziy o`qlarga nisbatan statik momentlar nolga teng ekanligi yaqqol ko`rinib turibdi.
2. Tekis shakllarning inersiya momentlari Ixtiyoriy tekis shaklning o`qli yoki ekvatorial inersiya momenti deb miqdor jihatdan quyidagi integralga teng bo`lgan geometrik tavsifnomaga aytiladi:
a) x o`qiga nisbatan
b) y o`qiga nisbatan
Tekis shaklning qutb inersiya momenti deb quyidagi integral bilan aniqlanuvchi geometrik tavsifnomaga aytiladi:

bunda ρ— elementar dA yuzachadan qutb nuqtasi 0 gacha bo`lgan masofa.
Tekis shakllarning o`qli (ekvatorial) va qutb inersiya momentlari faqat musbat kattaliklardir.
Tekis shaklning markazidan qochirma inersiya momenti deb quyidagi integralga teng bo`lgan geometrik tavsifnomaga aytiladi:

Bittasi yoki ikkalasi ham tekis shaklning simmetriya o`qlari hisoblanuvchi o`qlarga nisbatan markazdan qochirma inersiya momentlari nolga teng bo`ladi.
Bundan tashqari, xy musbat va manfiy qiymatlarga ham ega bo`lishi mumkin.
Tekis shakllarning inersiya momentlari uzunlik birligining to`rtinchi darajasi (m<sup>4</sup>) da o`lchanadi.
Endi o`qli va qutb inersiya momentlari orasidagi bog`lanishni keltirib
chiqaramiz.

ga teng, u holda (1.42) formula

ko`rinishga keladi.
Demak, tekis shaklning qutb inersiya momenti o`zaro perpendikular bo`lgan va qutb nuqtasidan o`tuvchi o`qlarga nisbatan olingan o`qli inersiya momentlarining yig`indisiga teng ekan.
3. Tekis shaklning qarshilik momenti. Tekis shaklning qarshilik momenti deb, biror o`qqa nisbatan olingan inersiya momentining shu o`qdan mazkur shaklda joylashgan eng uzoqdagi nuqtagacha bo`lgan masofaga nisbati bilan o`lchanadigan kattalikka aytiladi:
x o`qiga nisbatan
y o`qiga nisbatan
Tekis shaklning qutb qarshilik momenti deb, qutb inersiya momentining
qutb nuqtasidan mazkur shaklda joylashgan eng uzoqdagi nuqtagacha bo`lgan masofaga nisbati bilan o`lchanadigan kattalikka aytiladi:

Tekis shakllarning qarshilik momentlari uzunlik o`lchovining uchinchi darajasi, ya`ni m³ da o`lchanadi.
Shuni alohida ta`kidlash muhimki, tekis shakllarning inersiya momentlari koordinata o`qlari parallel ko`chganda yoki ma`lum burchakka burilganda o`zgaradi.
Quyidagi formulalar yordamida o`qlar o`zaro parallel qilib ko`chirilganda inersiya momentlarining o`zgargan qiymatlarini hisoblash mumkin (isbotsiz):

bu yerda a₀, b₀ – markaziy o`qlar bilan yangi o`qlar orasidagi masofalar.
Quyidagi formulalar yordamida koordinata o`qlari α ≠ 0 burchakka burilganda inersiya momentlarining o`zgargan qiymatlari hisoblanadi (isbotsiz):

Dastlabki ikkita ifodalarni hadlab qo`shib, o`zaro tik o`qlarga nisbatan olingan inersiya momentlarining yig`indisi o`zgarmas miqdor bo`lib, o`qlarning burilish burchagiga bog`liq emasligiga ishonch hosil qilamiz:

1 . To`g`ri to`rtburchak. Asosi b va balandligi h bo`lgan to`g`ri to`rtburchakning asosidan o`tuvchi x o`qqa nisbatan inersiya momentini hisoblaymiz (1.40-shakl). Buning uchun x o`qidan ixtiyoriy y masofada yuzasi dA = b dy ga teng bo`lgan cheksiz yupqa qatlam ajratib olamiz. Inersiya momentining ta`rifiga asosan:

Oxirgi ifodani integrallashda uning 0 dan h gacha o`zgarishini e`tiborga olamiz:

Xuddi shu tartibda vertikal y o`qqa nisbatan inersiya momentini aniqlab, uning

ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin Endi markaziy o`qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz.

2. Kvadrat. (a) va (b) formulalarga asosan, tomonlari b=h=a bo`lgan kvadrat uchun o`qli inersiya momentlari quyidagicha bo`ladi:

3. Uchburchak. Asosi b va balandligi h ga teng bo`lgan ixtiyoriy uchburchakning asosidan o`tuvchi x o`qqa nisbatan inersiya momentini hisoblaymiz (1.41-shakl). Uchburchakning asosidan ixtiyoriy y masofada qalinligi bo`lgan cheksiz yupqa DEKM trapetsiya ajratib olamiz. Agar trapetsiyaning yuzasini to`g`ri to`rtburchakning yuzasiga taxminan teng deb olsak, u holda dA ≈ by dy bo`ladi. ABC va DBM uchburchaklarning o`xshashligidan

munosabatni yozib olib, quyidagi formulani hosil qilamiz:

Uchburchakning markaziy o`qlariga nisbatan inersiya momentlarini hisoblaymiz.

4. Doira. Dastlab doiraning qutb inersiya momentini aniqlaymiz: buning uchun doira markazidan ixtiyoriy masofada yuzasi dA=2πρdρ bo`lgan cheksiz yupqa doira ajratib olamiz (1.42-shakl). U holda (1.42) formulaga ko`ra bo`ladi.
(1.44) formuladan foydalanib, doiraning ekvatorial inersiya momentlarini aniqlaymiz. Doira ox va oy o`qlarga nisbatan simmetrik shakl bo`lganligi uchun uning ekvatorial inersiya momentlari o`zaro teng bo`ladi:

5. Halqa. 1.43-shaklda tasvirlangan halqa uchun inersiya momenti tashqi va ichki doiralar qutb inersiya momentlarining ayirmasiga teng bo`ladi:

bu yerda
Halqaning ekvatorial inersiya momentlari quyidagicha topiladi:

I zoh: 1.Murakkab tekis shakllarning inersiya momentlarini hisoblash maqsadida, albatta uni inersiya momentlari oldindan ma`lum bo`lgan bir necha oddiy tekis shakllarga, masalan, to`g`ri to`rtburchak, uchburchak, doira va shu kabi shakllarga ajratish zarur.
2. Metall konstruksiya qismlarining qo`shtavr, shveller hamda teng yonli yoki teng yonli bo`lmagan burchakliklar ko`rinishidagi ko`ndalang kesimlari standart o`lchamli bo`lib, ular maxsus «sortament» jadvallarida beriladi. Sortament jadvallarida ko`ndalang kesim o`lchamlaridan tashqari, ularning yuzalari, og`irlik markazining koordinatalari, markaziy o`qlarga nisbatan inersiya momentlari kabi muhim ma`lumotlar beriladi.