Tema: Funksiya differensiali

Elementar funksiyalardıń differensiallari


Elementar funksiyalardıń tuwındıların bilgen halda olardıń differensiallari ushın tómendegi formulalardı jazıw múmkin:
1. d(x^)=x^–1dx (x>0);
2. d(a^x)=a^xlna dx (a>0,a1);
3. d(log_ax)= ;xususan, .
4. d(sinx)=cosxdx;
5. d(cosx=-sinxdx;
6. d(tgx)= ;
7. d(ctgx)=- ;
8. d(arcsinx)= ;
9. d(arccosx)=- ;
10. d(arctgx)= dx;
11. d(arcctgx)=- dx
Differensial tabıw qaǵıydaları

Funksiya differensiali tariypi hám tuwındı tabıw qaǵıydalarınan tómendegi tastıyıqlerdiń orınlı ekenligi kelip shıǵadı :

a) Chekli sandaǵı differensiallanuvchi funksiyalar jıyındısınıń differensiali olardıń differensiallari jıyındısına teń.
Mısalı, eki funksiya jıyındısı ushın bul tastıyıqni tómendegishe jazıw múmkin
d(u(x)+v(x))=(u(x)+v(x))’dx=(u’(x)+v’(x))dx==u’(x)dx+v’(x)dx =du+dv.
b) Tómendegi d(u(x)v(x))= v(x)du+u(x)dv formula orinli.
v) Tómendegi d(Su(x))=Sdu formula orinli.
g) Bólindiniń differensiali ushın tómendegi
d( )= formula orinli.

Ámeliy esaplawlarda differensialning qollanılıwı

Joqarıda aytıp ótkenimizdek, x₀ Noqatda differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchin yf’(x₀)dx, yai ydy Ámeliy teńlik orınlı. Sol ámeliy teńlik matematikalıq analizning teoriyalıq hám qollanıwiy máselelerinde zárúrli áhmiyetke iye bolıp, differensialning mánisin belgileydi. Joqarıdaǵı teńlikte y=f(x)-f(x₀), x=x-x₀ Dep alsaq, tómendegi teńlikke iye bolamız:

f(x)-f(x₀) f’(x₀)( x-x₀) yoki
f(x)  f(x₀)+f’(x₀)( x-x₀) (1)
(1) Formula funksiya bahaların ámeliy esaplawda keń qollanıladı.
Misali, f(x)= funksiya ushin tomendegi (2)
formula orinli. Egar f(x)= funksiyanin x=0,98 degi Ma`nisin esaplaw talap etilse, (2) formulada x=1, x=-0,02 deb Alıw jetkilikli. Ol halda boladi. Eger Kalkulyatorda esaplasak, onı 10^-6 Anıqlıqta 0,989949 Teń ekenligi kóriw múmkin. Sonday eken, differensial járdeminde esaplaǵanda qátelik 0,001 Den úlken emes. Ulıwma halda differensial járdeminde ámeliy esaplawlar daǵı qátelikti bahalaw máselesin kelesinde úyrenemiz.

Differensiallanuvchi bolıwınıń zárúrli hám jetkilikli shárti

(Ǵárezsiz tálim ushın)
Teorema. f(x) funksiya x=x₀ Noqatda differensiallanuvchi bolıwı ushın onıń sol noqatda chekli f’(x₀) Tuwındı ámeldegi bolıwı zárúr hám jetkilikli bolıp tabıladı.
Tastıyıqı. (Zárúrliligi) Funksiya x=x₀ Noqatda differensiallanuvchi bolsın. Ol halda funksiyanıń arttırıwın (1) kóriniste jazıw múmkin. Odan x0 da Ni jazıw múmkin. Bunnan x0 da , demek x Noqatda tuwındı ámeldegi hám f’(x)=A Ekenligi kelip shıǵadı.
(Jetkilikliligi) Chekli f’(x₀) Tuwındı ámeldegi bolsın, yaǵnıy . Ol halda , bul jerde (x) x0 da Sheksiz kishi funksiya. Sonday eken,
y=f’(x₀)x+(x)x (2)
yoki y=Ax+(x)x, bul jerde A=f’(x₀). Sonday etip x=x₀ Noqatda f (x) funksiya differensiallanuvchi hám A=f' (x0) eken.
Bul teorema bir ózgeriwshili funksiya ushın differensiallanuvchi bolıw tuwındınıń ámeldegi bolıwına teń kúshli ekenligin ańlatadı. Usınıń sebepinen tuwındın tabıw ámeli funksiyanı differensiallash, matematikalıq analizning tuwındı uyreniletuǵın bólimi differensial esap dep ataladı.
Sonday etip, aldınǵı 1-tariyp menen ekvivalent bolǵan bul tariypni da beriw múmkin: