Tema: Funksiya differensiali

Joqarı bilimlendiriw, pán hám innovaciyalar ministrligi
NÓKIS INNOVACIYALIQ INSTITUTI




Ameliy matematika páninen

“Finans hám finans texnologiya guruppa”

Ózbetinshe jumısı


Tema: Funksiya differensiali

Qabilladi: D.Asqarova

Tapsirdi: G.Saparbaeva

Nukus-2023

Funksiya differensiali
Joba :
1. Funksiya differensiali jáne onıń funksiya tuwındı menen baylanıslılıǵı.
2. Differensialning geometric mánisi.
3. Joqarı tártipli tuwındılar hám differensiallar.
4. Ekinshi tártipli tuwındınıń mexanik mánisi

Differensiallanuvchi funksiya haqqında túsinik

Shama menen oylayıq y=f(x) funksiya (a,b) Differensiallanuvchi funksiya haqqında túsinik
Shama menen oylayıq x₀(a,b) bo‘lsin.
1-ta’rif. Eger f(x) funksiyanin x₀ nuqtadagi y Arttırıwın
y=Ax+(x)x (1)
Kóriniste jazıw múmkin bolsa, bul funksiya x=x₀ Noqatda differensiallanuvchi funksiya dep ataladı. Bunda A - x Ga baylanıslı bolmaǵan qandayda bir ózgermeytuǵın san, (x) esa x0 Ga baylanıslı bolmaǵan qandayda bir o'zgermeytuǵın san .
y=kx+b Sızıqlı funksiyanı qaraylıq. Onıń ushın y=kx Teńlik orınlı, yaǵnıy funksiya arttırıwı argument arttırıwına tuwrı proportsional. Tarifdagi y=Ax+(x)x Teńlik bolsa funksiya arttırıwı argument arttırıwına «deyarli tuwrı proportsional» ligini ańlatadı, yaǵnıy yAx. Bul teńlik| x| qanshellilik kishi bolsa, sonshalıq anıqlaw boladı. Geometriyalıq kózqarastan funksiyanıń x noqatda differensiallanuvchi bolıwı funksiya grafigi x noqattıń yyetarlicha kishi átirapında qandayda bir novertikal tuwrı sızıq, yaǵnıy qandayda bir sızıqlı funksiya grafigi menen «qo'shilib» ketiwin ańlatadı. Sonday etip, geometriyalıq kózqarastan funksiyanıń x noqatda differensiallanuvchi bolıwı funksiya grafigini x noqattıń yyetarlicha kishi átirapında «to'g'rilash» múmkinligin ańlatadı.
Mısalı, 13-shizmada y=x² funksiya grafigini x₀=1 Noqat átirapında y=2x-1 Tuwrı sızıq grafigi menen «qo'shilib» ketiwi kórsetilgen.
14-shizmadan y=|x| funksiyani x=0 Noqatda differensiallanuvchi emesligi kelip shıǵadı, bul funksiya grafigini x=0 noqattıń hesh bir átirapında «to'g'irlab» bolmaydı.

13-sizilma 14-sizilma

Funksiya differensiali, onıń geometriyalıq hám fizikalıq mánisleri. Funksiya differensiali

f(x) funksiya (a;b) Intervalda anıqlanǵan bolıp, x(a;b) Noqatda differensiallanuvchi bolsın. Yaǵnıy funksiyanıń x noqat daǵı arttırıwın
(1)
Kóriniste jazıw múmkin bolsın, bunda x0 da (x)0.
Tariyp. x noqatda differensiallanuvchi f(x) Funksiya arttırıwı (1) dıń bas bólegi f’(x)x berilgen f(x) Funksiyanıń sol noqat daǵı differensiali dep ataladı hám dy yoki df(x) Arqalı belgilenedi, yaǵnıy dy=f’(x)x.
Misali, y=x² funksiya ushin dy=2xx ga ten. Eger f(x)=x bolsa, ol halda f’(x)=1 va df(x)=1x, ya’ni dx=x boladi. Sonı esapqa alǵan halda argument arttırıwın, ádetde, dx Menen belgilesedi.
Bunı názerge alsaq, f(x) Funksiya differensialining formulası
dy=f’(x)dx yoki dy=y’dx (2)
boladi.


Differensialning geometriyalıq mánisi
Endi x(a;b) Noqatda differensallanuvchi bolǵan f(x) Funksiyanıń grafigi 15-shizmada kórsetilgen sızıqtı ańlatpalasin deylik.
Bul sızıqtıń (x,f(x)) ham (x+x, f(x+x)) Noqatlarin uyqas túrde M hám K menen belgileylik. Ol jaǵdayda MS=x, KS=y boladi. f(x) funksiya x Noqatda chekli f’(x) Tuwındına iye bolǵanı ushın f(x) Funksiya grafigiga onıń M(x,f(x)) Noqatında ótkerilgen ML Urınba 15-sizilma
ámeldegi jáne bul urınbanıń múyesh koefficiyenti tg=f’(x). Shu ML Urınbanıń KS menen kesilisken noqatın E menen belgileylik. Ayqınki, MES dan Bundan ES=MStg=f’(x)x ekwei kelib shiqadi. Demek, f(x) funksiyanin x noqatindagi differensiali dy=f’(x)x funksiya grafigi M(x,f(x)) Noqatda ótkerilgen urınba arttırıwı ES ni ańlatadı. Differensialning geometriyalıq mánisi naǵız ózindan ibarat.
Differensialning fizikalıq mánisi

Materiallıq noqat s=f(t), bul jerde s –basiap o‘tilgen jol, t-vaqt, f(t)- Differensial-lanuvchi funksiya, nizamlıq menen tuwrı sızıqlı háreketlenip atırǵan bolsın.

T waqıt aralıǵinda noqat s=f (t+t)-f (t) joldı basıp ótedi. Joldıń bul arttırıwın
s=f' (t) t+ (t) t
kóriniste ańlatıwımız múmkin. Bul joldı noqat qandayda bir ózgeriwshen tezlik menen basıp ótken. Eger t waqıt aralıǵinda noqat ózgermeytuǵın f' (t) tezlik, yaǵnıy t waqıttaǵı tezligine teń tezlik menen háreketlandi desek, bul halda basıp ótilgen jol f' (t) t ga teń boladı. Bul bolsa joldıń differensialiga teń: ds= f' (t) t.