Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti ,,Boshlangʻich ta'lim'' fakulteti ,,Boshlangʻich matematika kurs nazariyasi'' fanidan MUSTAQIL ISHI Mavzu: Arifmetikaning asosiy teoremasi
Isboti: Teoremada sonning tub sonlar ko`paytmasiga ajratishning mumkinligi va bunday ko‘paytmaning yagonaligi haqida gapiriladi. Bu tasdiqlarni alohida isbot qilamiz. Tasdiqlarning birinchisini teskarisini faraz qilish yo‘li bilan isbot qilaylik:
Faraz qilamiz, tub sonlar ko‘paytmasi shaklida yozib bo‘lmaydigan murakkab sonlar mavjud. Ularning to‘plamini A bilan, to‘plamning eng kichik elementini a bilan belgilaymiz. a- murakkab son va u tub ko‘paytuvchilarga ajralmaydi. a murakkab son bo‘lgani uchun uning o‘zidan kichik murakkab bo‘luvchilari bor:
Ikkinchi tasdiqni isbotlaymiz, ya’ni murakkab sonning tub sonlar ko‘paytmasi ko‘rinishida yagona usul bilan yozish mumkin. Faraz qilay lik, turlicha tub sonlar ko‘paytmasiga ajraladigan murakkab sonlar mavjud, ularning to‘plami A va eng kichik elementi a bo‘lsin. Farazga ko‘ra a=r1...rm va a=q1...qk.
Teng liklarning o‘ng tomonlarini tenglaymiz:
p1...pm= q1...qk.
Demak, p2...pn^q2...qk yoyilmalar tarkibiga ko‘ra bir xil va faqat ko‘paytuvchilar tartibi bilangina farq qilishi mumkin. U holda p1 p2...pn^q1q2...qk ham bir xil sonlardan iborat bo‘ladi. Bu esa, farazimizga zid. Demak istalgan murakkab son faqat bir xil usul bilan tub sonlar ko‘paytmasiga ajratiladi va turli ko‘paytmalar mavjud bo‘lsa, ular faqat ko‘paytuvchilar tartibi bilan farq qiladi.
Bunday ko‘paytmada odatda sonning tub bo‘luvchilari o‘sib borish tartibida, bir xil ko‘paytuvchilarni esa, daraja ko‘rinishida yoziladi. Ko‘paytmaning bu shaklini sonning kanonik yoyilmasi deyiladi. a sonining kanonik yoyilmasi a = p1a1 p2a2...pnan shaklida bo‘ladi,
bu yerda p1
Masalan, 150=2x3x5x5 bo‘lsa, kanonik yoyilmasi 2xZx52 ko‘rinishida, 2000 soni uchun esa, 200=23x52 ko‘rinishida bo‘ladi.
