Тенгсизликни šаноатлантирса ва

7.2-eslatma. 7.2-teoremaning shartlari bajarilganda

tenglik o’rinli bo’ladi .
7.4-misol. Ushbu

funksional ketma–ketlikning limit funksiyasini da uzluksizlikka tekshiring.
Yechilishi. ketma–ketlikning har bir hadi da uzluksiz. Berilgan ketma–ketlikning limit funksiyasini topamiz:

Bundan ekanligi kelib chiqadi, ya’ni .
Demak, 7.2-teoremaga asosan, berilgan ketma–ketlikning limit funksiyasi ham da uzluksiz funksiya bo’ladi. Bu yerda 7.2-eslatmadagi tenglikning o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, ya’ni
7.3.Funksional qatorlarda hadma-had limitga o’tish. Yaqinlashuvchi (7.1) funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi , nuqta esa to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
7.3-teorema. Agar da (7.1) funksional qatorning har bir hadi chekli

limitga ega bo’lib, berilgan qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa,

qator ham yaqinlashuvchi, uning yig’indisi esa, ning dagi limitiga

teng bo’ladi.
7.3-eslatma. 7.3-teoremaning shartlari bajarilganda

tenglik o’rinli bo’ladi.
7.5-misol. Ushbu

limitni toping.
Yechilishi. Berilgan funksional qator to’plamda Abel alomatiga ko’ra, tekis yaqinlashuvchi bo’ladi (6.21-misolga q.), ya’ni

barcha va lar uchun va bo’ladi. Bundan tashqari,
.
yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng. 7.3-teoremaning shartlari bajarilayapti. Endi funksional qatorda hadma-had limitga o’tish mumkin:
.
7.4. Funksional ketma-ketlikda hadma-had limitga o’tish. (7.2) ketma-ketlik to’plamda berilgan bo’lib , uning limit funksiyasi nuqta esa to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
7.4-teorema. Agar da ketma-ketlikning har bir hadi chekli

limitga ega bo’lib, bu ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo’ladi, uning

limiti esa, ning dagi limitiga teng , .
7.6-misol.Ushbu

funksional ketma-ketlik da 7.4-teoremaning shartlarini qanoatlantirishini ko’rsating.
Yechilishi. ni topamiz:
Berilgan funksional ketma-ketlikning da tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz: .
Demak, berilgan funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi.

yaqinlashuvchi va
,
Shunday qilib, funksional kema-ketlik 7.4-teoremaning hamma shartlarini qanoatlantirar ekan.