Teńsizlikti dálillewdiń klassik usullari

2-mısal. Oń a,b ham c sanlar ushın 6 teńsizlikti dálilleń.

Sheshiliwi: Teńsizliktiń shep bóleginde forma almastırıw atqarıp, onı tómendegi kóriniste jazamız:

+ + 6 (1)

Eki oń san ushın orta arifmetik hám orta geometriyalıq bahalar arasındaǵı Koshi teńsizliginen paydalanamız

= 2, ,

Bul teńsizliklerdi hadma-had qosıp, (1) teńsizlikti payda etemiz.

§2. Ortasha mánis hám olar arasındaǵı qatnaslar.

1. 
   Ortasha mánis.
   

a = {a₁, a₂ ,…, a_n } Oń sanlar izbe-izligi ushın

Orta arifmetik mánis A (a) = A_n = ,

Orta geometriyalıq mánis G (a) = G_n= ,

Orta kvadratik mánis K (a) = K_n=

Orta garmonik mánis N(a)=N_n= lardi anıqlaymız.

Atap aytqanda x, y oń sanlar ushın bul orta mánislerdi tómendegishe anıqlanadı:

A₂= , G₂= , K₂ , N₂ = .

2. Orta arifmetik hám orta geometriyalıq mánisi haqqında Koshi teńsizligi jáne onıń túrli dálillerı.

Teorema. A_n G_n hám A_n = G_n teńlik tek hám tek a₁=a₂ =…= a_n teńlik bolǵanda orınlı.

1. Dálil. x 1 ta e^{x -1} x ekenligi málim, e^{x -1}=x teńlik bolsa tek x=1 de atqarıladı. Bunnan:

1=e⁰=exp =

Demek. A_n G_n teńlik bolsa bunnan i=1, 2, … , n bolǵanda qollaniladi. Bunnan bolsa ekenligi kelip shıǵadı.

A_n G_n ekenligin dálilleymiz n =2 de < Bul teńsizlik qálegen oń hám sanlar ushın orınlı bolǵan - > 0 teńsizlikten ańsat payda etedi. Berilgen teńsizlikti qálegen p ta natural sanlar ushın tuwrı dep, p+1 natural sanlar ushın tuwrılıǵın tastıyıqlaymız. Bul sanlar bolsin olardiń arasindaǵI eń úlkeni bolsin. Yaǵniy , . Soniń ushın .

Tómendegishe belgilew kiritemiz:

bolǵani ushın + dep jaziw múmkin, bul jerde Ol Jaǵdayda

Bul teńliktiń eki tárepin (p+1) – dárejege kóterip, tómendegini tabamiz.

Farazga kóra, Buni itibarǵa alip,

.

Bunnan . Teńlik bolǵanda orınlı boladi.

2-dálil. Teoremaniń dálili tómendegi dálilge tiykarlanǵan:

Eger teris emes sanlar teńlikti qanaatlandirsa ol jaǵdayda

Bul dálildi máseleni matematik indukciya usilinda dálilleymiz.

N=1 de másele ayqin. N=k da teńlikti qanaatlandiriwshi qálegen teris sanlar ushın teńsizlik orınlı bolsin. N=k+1 de teńlikti qanaatlandiriwshi qálegen teris emes sanlar ushın teńsizlikti qanaatlandiriwin kórsetemiz.

Uliwmaliqqa kesir tiygizbesten dep esaplaymiz. Onda bolǵani ushın indukciya túsinigine kóre boladi. Endi ekenligin dálillelew jeterli. Bul (1+ ) ( ) teńsizlikke teń kúshli bolǵani ushın aqiriǵi teńsizlik orınlı ekenligi ayqin.

3-dálil. Teoremaniń dálil tómendegi belgili dálilge tiykarlanǵi.

de usiniń menen birge teńlik bolsa tek x=1 de orinlanadi.

Bunnan;

1=e⁰=exp =

Demek. A_n G_n teńlik bolsa bunnan i=1, 2,…, n bolǵanda qollaniladi. Bunnan bolsa ekenligi kelip shıǵadı.