Teskari matrisa
Yüklə 21,15 Kb.
|
|
2-Ma’ruza. Teskari matritsa va chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulda yechish Teskari matrisa.Teskari matrisa haqida umumiy malumotga ega bo’lishimizdan oldin ba’zi zarur tushunchalar bilan tanishib olishimiz kerak. Transponirlangan matrisa. Matrisa mos satrlarini uning mos ustunlariga almashtirishdan hosil bo’lgan matrisaga transponoirlangan matrisa deyiladi. A matrisaning trasponirlangani kabi belgilanadi. Masalan, A= uchun transponirlangan matrisa = ko’rinishda bo’ladi. Agar A kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, ya’ni det 0 A bo‘lsa, A matritsa xosmas matrisa deyiladi. Agar det 0 A = bo‘lsa, A matritsa xos matritsa deyiladi. Maxsusmas matrisa deb parallel satr ustunlari mos elementlari proporsianal bo’lmagan yani determenanti 0 dan farqli bo’lgan matrisaga aytiladi. Tarif: Berilgan A maxsusmas matrisaning teskari matrisasi deb tartibi A matrisani tartibiga teng uni berilgan matrisanga o’ngdan chapdan ko’paytirilganda birlik matrisani beradigan maxsusmas matrisaga aytiladi. Sodda qilib aytganda: Agar A kvadrat matritsa uchun AA-1 = A A-1 = E tenglik bajarilsa, u holda A-1 matritsa A matritsaga teskari matritsa deyiladi. 𝐴 matritsaga teskari matrisani 𝐴-1 kabi belgilanadi. 1-teorema. A kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun A matritsa xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli. Isbot: Faraz qilaylik A matritsa uchun A -1teskari matritsa mavjud bolsin, u holda determinantning xossasiga ko‘ra,detA,detA-1=detAA-1=detE=1 bo’ladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud boʻlsa detA=detA-1≠0 ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, A 0 bo‘lsin.. A matritsaga qo‘shma A matritsani q ramamiz: A11 A21 ... Ai1 ... An1 A12 A22 ... Ai2 ... An2 A= ... ... ... ... ... ... ... A1j A2j ... Aij ... Anj ... .... .... .... .... .. A1n Am2 ... Ain ... Ann A va Ᾱ matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz: a11 a12 ... a1j ... a1n A11 A21 ... Ai1 ... An1 a12 a22 ... a2j ... a2n A12 A22 ... Ai2 ... An2 ... .... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... AA= aij ai2 … aij … ain A1j A2j ... Aij ... Anj ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .. An1 an2 ... anj ... ann A1n Am2 ... Ain ... Ann AA ko‘paytmaning har bir elementi Ai1Aj1+Ai2Aj2+…………+AinAjn yigindidan iborat bo’ladi Bundan A va A matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng bo’ladi. │A│ 0 … 0 1 0 … 0 0 │A│ … 0 = │A│ * 0 1 … 0 … … … … … … … 0 0 … │A│ 0 0 … 1 Bundan, AᾹ=AE (1) Xuddi shu usulda ᾹA=AE (2) Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (1) va (2) tengliklardan A-1= .Ᾱ Yoki, ... ...
A-1 = ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .. ... ... (3) Kelib chiqadi. Haqiqatan ham (1) dan AA-1=A. Ᾱ= A. Ᾱ=E va (2) dan bu qurilgan A-1 matritsa A matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni A-1A=E . Teorema isbotlandi. Izoh. Teskari matritsa A-1 yagona bo‘ladi. Haqiqatan, agar biz A matritsaga teskari boshqa bir X matritsa mavjud desak, ya’ni 1) AX=E bo‘lsa, u holda bu tenglikni chap tarafdan A-1 matritsaga ko‘paytirib A-1 = X, 2) XA=E bo‘lsa, u holda bu tenglikni o‘ng tarafdan A-1 matritsaga ko‘paytirib X=A-1 ga ega bo’lamiz. 1-misol. Berilgan matritsa: A=
Yechish. 1) A matresani determinantini topamiz: detA=1* -2 +3* = = -48-2(-42)+3(32-35)=-48+84-9=27 detA≠ demak , A-1mavjud. 2) A matrisa barcha elementlarning algebraic to’ldiruvchilarini topamiz: A11=(-1)1+1* =5*0 - 6*8=-4; A12=(-1)1+2* =-(4*0 - 6*7)=42; A13=(-1)1+3* =4*8 – 5*7=-3; A21=- =24 A22= =-21 A23= =6 A31= =-3 A32=- =6 A33= =-3 3) A=(Ay)t= matrisani yozamiz. 4) A-1 matrisani topamiz: A-1= *A= * = Tekshiramiz: A-1*A= * = ; A*A-1= * Teskari matrisaning asosiy xossalari: [A-1]=[A]-1; (A-1)-1=A (A*B)-1=B-1*A-1; (A’)-1=(A-1)’ 3- xossaning isbotini ko’ramiz: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=(AE)A-1=AA-1=E , (B-1A-1)(AB)=B(A-1A)B-1=BB-1=E bundan B-1A-1=(AB)-1 4-xossani isbotini ko’ramiz: A(A-1)’=(A-1A)’=E’=E Bundan (A-1)’=(A’)-1. Ta’rif . Agar A kvadrat matritsa uchun A*AT=ATA=E (yani A-1=AT) bo‘lsa, u holda A matritsa orthogonal matritsa deyiladi. Teorema. Agar 𝐴 matritsa xos, ya’ni 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 bo’lsa, u holda 𝐴-1 teskari matritsa mavjud emas. Isbot. 𝐴 matritsa uchun 𝐴𝐵 = 𝐸 bo’ladigan 𝐵 matritsa mavjud deb faraz qilaylik. U holda det 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. 7-xossaga asosan: 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Biroq, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 , 𝑑𝑒𝑡𝐸 ≠0 ekanligini hisobga olsak, 0=1 ni hosil qilamiz. Bu ziddiyat teoremani isbot qiladi. Teorema. Agar 𝐴 matritsa xosmas bo’lsa, u holda 𝐴-1 matritsa yagonadir. Shunday qilib, berilgan 𝐴 matritsaga teskari 𝐴-1 matritsani hosil qilish uchun quyidagi ishlarni amalga oshirish zarur: 1. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = ∆ ni hisoblash. 2. Agar ∆≠0 bo’lsa 𝑑𝑒𝑡𝐴 ning barcha elementlari uchun algebraic to’ldiruvchilardan tuzilgan 𝐴 biriktirilgan matritsani tuzish. 3. Bu matritsaning barcha elementlarini ∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ga bo’lish. Tеорема. Har qanday orthogonal matritsa uchun teskari matritsa mavjud va u ham orthogonal matritsa bo‘ladi. Bu teorema (A’)’=A bolganida, AA’=A’A=E kelib chiqadi. 2-misol. Uchburchakli matritsa A= Uchun teskari matrisani toping: Yechish. Determinantni hisoblaymiz: [A]= =2≠0 Qo‘shma matritsani tuzamiz: A=
A-1= Teskari matrisaga ega bo’lamiz. Ekvivalent almashtirishlar yordamida teskari matritsani hisoblash. Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usulida maxsusmas matritsani shu tartibdagi birlik matritsa bilan kengaytiriladi, kengaytirilgan matritsa satrlari ustida elementar almashtirish to kengaytirilgan matritsa birinchi qismida birlik matritsa hosil boʻlguncha olib boriladi, natijada kengaytirilgan matritsaning ikkinchi qismida berilgan matritsaga teskari boʻlgan matritsa hosil boʻladi. Bu jarayonni Gauss-Jordan modifikatsiyasi (yoki formulasi) koʻrinishida yozishimiz mumkin: (A/E)~(E/A-1) 3-misol. Gaus Jordan usulida berilgan matritsaga teskari matritsani toping: Yechish. (3x6 ) o‘lchamli Г = (A/E) kengaytirilgan matritsani yozamiz. Avval matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarib uni pog‘onasimon ko‘rinishga keltiramiz Г1=(A1/B ), keyin Г2=(E/A-1) ko‘rinishga keltiramiz. Г = Г1 = = =Г2 Demak, A-1 =
A = , b) A = detA = =-10≠0 algebraik to‘ldiruvchilarni hisoblaymiz: A11=4 A12=-3 A21=-2 A22=-1 Natijaga erishamiz A-1=- = Tekshirish: AA-1= * = =E Uchunchi tartibli determinantni hisoblaymiz, detA=-8 va algebraik to‘ldiruvchilar: A11=-2, A12=2, A13=4, A21=3, A22=1, A23=-2 , A31=-7, A32=-5 ,A33=-6. U holda, A-1 =- bu javobga erishamiz. Ch.T.S ni teskari matrisa usulida yechish. Determinantlar va matritsalar nazariyalarida olingan natijalarni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga qo’llaymiz. Ushbu a11x1 + a12x2 + ……+a1nxn=b1 a21x1 + a22x2 + ……+a2nxn=b2 …………………………………... (1) am1x1 + am2x2 + …..+amnxn=bm 𝑛 ta noma’lumli va 𝑚 ta chiziqli tenglamalardan iborat bo’lgan ChATSni o’rganamiz. a11 a12 …… a1n A= a21 a22 …… a2n …………………… (2) am1 am2 ….. amn a11 a12 ... a1j ... a1n b1 b1 a12 a22 ... a2j ... a2n b2 b2 B = ... .... ... ... ... ... .. b3 = A ... (3) am1 am2 ... amj ... amn bm bm Berilgan (1) sistemada 𝑚 = 𝑛 bo’lib, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0 bo’lsin. U holda 𝐴 matritsaga 𝐴-1 teskari matritsa mavjud: A11 A21 ... An1 A12 A22 ... An2 A-1= ... ... ... ... A1n A2n ... Ann , bu yerda 𝐴ij − algebraik to’ldiruvchilar. Qaralayotgan (1) sistemadagi noma’lumlarni va ozod hadlarni ustun matritsalar ko’rinishida yozib olamiz: U holda (1) sistemani matritsali ko’rinishda yozish mumkin: AX=B Bu matritsali tenglamaga chapdan 𝐴-1 teskari matritsani ko’paytirib, topamiz: 𝐴-1 𝐴𝑋 = 𝐴-1 B bu yerdan 𝐸𝑋 = 𝑋 = 𝐴-1 B. Shunday qilib, 𝑋 matritsa-yechim 𝐴-1 teskari matritsaning 𝐵 ustun-matritsaga ko’paytmasi ko’rinishida topiladi. Misol 5. Tenglamalar sistemasini matritsa usulida yeching. Yechish: A= , X= B= , detA= -8 Teskari matrisa: A-1= -1/8 . Endi 𝑋 ni topamiz: X=A-1B= - )= = -1/8 = = -1/8 = . Shunday qilib, sistemaning yechimini yozamiz: 𝑥1 = 2, y = 0, z = −1. 6-misol. Tenglamalar sistemasini matrisa usulida yeching A= Sistemaga mos asosiy, ozod hadlar va noma’lumlar matrisalari mos ravishda ushbu ko’rinishga keltiramiz A= , B= , X= . So’ng A matrisasini determinantini topamiz: detA= 24+27+16-24-24-1=1≠0 Bo’lgani uchun A-1= bo’ladi. U holda, X=A-1*B= Demak, x1=1 x2=1 x3= -1 javoblarni olamiz. 7-misol. Berilgan matrisalarga teskari matrisalarni toping. Yechish: va Tekshirib ko’ramiz: Yüklə 21,15 Kb. Dostları ilə paylaş:
|