The ardl method in the Energy-Growth Nexus Field; Best Implementation Strategies

3. Other Versions of the ARDL Approach

3.1. The Asymmetric Nonlinear or the Nonlinear Autoregressive Distributed Lag (NARDL) Approach

This version of the ARDL approach was introduced by

Shin et al.

(

2011

,

2014

) and is an extension

of the method introduced by

Pesaran et al.

(

2001

). The nonlinear ARDL is used for testing whether

the positive shocks of the independent variables have the same e

ffect as their negative shocks on the

dependent variables. In the typical ARDL, there is a symmetric relationship between the dependent

and the explanatory variables. This is not the case with the NARDL in which the ARDL relationship is

formulated as follows:

y

t

=

a

+

x

t

+

+

a

−

x

t

−

+

ε

t

The alphas are the long-run parameters, while x

t

is the following vector regressor:

x

t

=

x

0

+

x

t

+

+

x

t

−

With x

t

+

being the positive partial sum and x

t

−

being the negative partial sum as follows:

x

t

+

=

t

X

i=1

∆x

i

+

=

t

X

i=1

max

(

∆x

i

, 0

)

x

t

−

=

t

X

i=1

∆x

i

−

=

t

X

i=1

max

(

∆x

i

, 0

)

This means that the corresponding error correction model can be written as:

∆y

t

=

ρy

t−1

+

θ

+

x

t−1

+

+

θ

−

x

t−1

−

+

j−1

X

i=1

ϕ

i

∆y

t−i

+

p

X

i=0

π

i

+

∆x

t−i

+

+

π

i

−

∆x

t−i

−



+

ε

t

where

θ

+

=

α

+

ρy

t−1

and

θ

−

=

α

−

ρy

t−1

.

Using the F-statistic developed by

Pesaran et al.

(

2001

), one can test the hypothesis that

θ

+

θ

−

= θ = 0.

The rejection of the null hypothesis indicates the presence of cointegration. The hypothesis of

θ

=

0

versus the alternative that

θ < 0 is examined through a t-test (

Banerjee et al. 1998

).

---

Economies 2019, 7, 105

8 of 16

Overall, the procedure steps are exactly as the conventional ARDL approach that has been already

presented in this paper. In addition to that, the method provides the cumulative dynamic multiplier

e

ffects of x

+

and x

−

on y

t

as follows:

m

k

+

=

k

X

i=0

∂y

t+i

∂x

t

+

and m

k

−

=

k

X

i=0

∂y

t+i

∂x

t

−

When k increases to infinity, the multipliers converge to the alphas. This method has been

applied by

Shahbaz

(

2018

) in a case study for the energy-growth nexus in

Al-hajj et al.

(

2018

) for the

investigation of the oil price and stock returns nexus in Malaysia. The NARDL method is applicable if

all variables are integrated at I(1) or they have a flexible order of integration. The approach solves

multicollinearity through the choice of the appropriate lag length of variables (

Shin et al. 2014

). Thus,

the bounds test proposed by

Shin et al.

(

2014

) examines the presence of cointegration while at the

same time hosting asymmetries. As far as causality is concerned, a complete account of asymmetric

causality is presented in

Apergis

(

2018

) who provides a detailed account also on linear versus the

nonlinear causality.

3.2. The Pool Mean Group (PMG) Estimator for Panel Data

The PMG allows for heterogeneity only in the short-run compared to the mean group which

allows for heterogeneity both in the short and the long-run. The pool mean group estimates are

superior to the fixed e

ffects estimates, because they are robust to endogeneity and to the presence of unit

roots. Overall the PMG is an estimator that allows pooling and averaging. Besides the short-run and

long-run e

ffects that are captured among the variables of a model, the PMG additionally investigates

the dynamic e

ffects of the independent variables on the dependent variable.

The general form of the PMG can be seen in the following Equation:

Y

it

=

p

X

j=1

λ

i j

y

i, t−j

+

q

X

j=0

δ

i j

X

i,t−j

+

µ

t

+

ε

it

The following notation applies for the Equation:

I

= number of panels with I = 1 . . . N

T

= time, t = 1, . . . T

X

it

= a vector of K × 1 regressors

λ

i j

= is a scalar

µ

i

= is a group specific effect

The error correction equation can be derived from the previous equation as:

∆Y

it

=

ϕ

i

y

i,t−j

−

θ

i

X

i,t−j

p−1

X

j=1

λ

i j

∆y

i,t−j

+

q−1

X

j=0

δ

i j

∆

i,t−j

+

µ

t

+

ε

it

With

ϕ

i

indicating the speed of adjustment which needs to be negative and significant in order

to have convergence in the long-run horizon. If the speed of adjustment is zero, then no long-run

relationship would be present. This equation provides the short-run dynamics that correspond to the

long-run ones described in the cointegration equation. Besides the sign of the adjustment coe

fficient,

the researcher must pay attention to the rest of the signs both I the cointegration and the error correction

equation and decide whether they are consistent with economic theory and established research in the

energy-growth nexus field. After short-run and long-run causal findings have been corroborated, it is

useful to document them with policy reasons, namely find out why a causal direction is happening,

whether it is due to some energy or environmental policy or whether it is due to the lack of some relevant

---

Economies 2019, 7, 105

9 of 16

policy. Comparison with the findings of other studies is also essential at this point. The estimates from

the PMG estimator are consistent and asymptotically normal for both stationary and non-stationary

regressors. As with conventional ARDL, the appropriate lag length in the PMG can be determined by

the AIC and SBC criteria. Foremost, the more homogeneous the panels are, the more e

fficient the PMG

estimator is.

Additional attention is advised for researchers with panel data who are advised to perform

both the

Pesaran

(

2004

) CD test and the Pesaran and Yamagata’s slope homogeneity tests.

The

Pesaran

(

2004

) CD test was formulated as an answer to the shortcomings faced in the scaled

LM test (

Pesaran 2004

;

Breusch and Pagan 1980

). Large panel data sets could not be handled with

the Breusch and Pagan test. Thus,

Pesaran

(

2004

) suggested the standardized version of that LM

test. Again, however, this solution had its own restrictions with large panels where cross sections

were large but the time span was not long enough. The CD test was proposed as a final solution that

could accommodate both smaller cross sections and shorter data spans. In many studies we make the

comfortable assumption that the slope coe

fficients are homogeneous. While, when the time span is

long and the cross section dimension short, this can be tested with seemingly unrelated regressions

(SURE), but these dimensions are not always the case.

Pesaran and Yamagata

(

2005

) have proposed a

modified Swamy’s test of slope homogeneity.

Swamy

(

1970

) bases his test of the slope homogeneity on

the dispersion of individual slope estimates from a suitable pooled estimator. For more on these tests,

the interested reader should read the suggested bibliography.

3.3. What Are the ARDL Best Implementation Strategies to Follow in One’s Energy-Growth Nexus Paper?

This paper deals with the general outline of the research in the ARDL analysis and not the specific

direction that various studies may end up with, because of specific handlings dictated by data, theory,

and research demands. For example

Liu

(

2009

) ends his

/her ARDL analysis with a factor decomposition

model (FDM) analysis, which shows the yearly causal contribution of each variable onto the dependent

variable. This is not how most ARDL energy-growth nexus studies end with. The typical outline

of most of these studies is an investigation of the integrational properties of the variables, followed

by an ARDL cointegration analysis that ends with a causality analysis. In the following two tables

(Tables

1

and

2

), the ARDL implementation strategies are provided with guidelines for every step and

variant. Table

1

contains guidelines for the time series data, while Table

2

contains guidelines for the

panel data version of the ARDL implementation. For more detailed discussions on time series and

panel data causality tests dependent on cointegration and integration results, the reader is advised to

consult the studies by

Tugcu

(

2018

) and

Apergis

(

2018

) in the book by

Menegaki

(

2018

) entitled as

“The Economics and the Econometrics of the energy-growth nexus” and by

Marques et al.

(

2019

) in the

book by

Fuinhas and Marques

(

2019

) entitled as “The extended energy-growth nexus.”