Tiykarınan risk funksiyası hám atap aytqanda kvadratik risk arqalı uyreniledi

. Effektiv bahalaw. Kramer-Rao teńsizligi

Biz noqatlıq statistikalıq bahalaming ózgesheliklerin úyreniwde olarning tıyanaqlıǵı, jıljımaǵanlıǵı hám risk funksiyalarına bólek itibar

berip óttik. Bahoning tıyanaqlı boMish ózgesheligi tańlanma kólemi sheksiz

arttırılǵandagina kórinetuǵın boMsada, kishi kólemde baha ózgesheligi

tiykarınan risk funksiyası hám atap aytqanda kvadratik risk arqalı uyreniledi.

Jıljımaǵan baha ushın kvadratik risk dispersiya menen ústpe-úst

túsedi. Bul halda dispersiyasi eń kishi boMgan baha eń jaqsı dep

esaplanadı. Bólistiriwler shańaraǵı ushın málim shártler qo' jılǵanida

bunday dispersiyalar ushın tómen shegaranı kórsetiw múmkin eken.

Bul paragrafda biz skalyar parametr boMgan halda KramerRaoning teńsizligin tastıyıqlaymız.

- parametrik statistikalıq modeldi qaraymız. Hár bir gúzetilbediń

f (x, 9 ) tıǵızlıq funksiyası ushın regulyarlik shártleri kiritemiz:

(I) jv (/) = {x:/ (x, 0) > O } - jıynaq ǵa baǵ liq emes;

(II) © = R yamasa © - jıynaq R dagi interval ;

»=i

funksiyasın qarayotganimizda (I)-(v) shártlerda/ o'mida f n ni isle-

301

(III) -^-/ (x, <9 ) - tuwındı ámeldegi hám { i^, 0 e© } g a salıstırǵanda

derlik barlıq jerde © ushın chekli;

(Iv) v 0 € © hám i= 1, 2 ushın J - ^ / ( *, 0 ) ju (ak)

(v) v 0 G 0 : O

Biz Xm tańlanmaning f n {xin), e) = Y \f{xt, e ) – zichli

Tam ız hám integrallar jıynaq b o 'yich a túsiniledi. I (ol ) funksiya

t. m. dagi i parametr haqqındaǵı F jumıs er ın form a tsiya si dep ataladı.

Bul

1№ H) * ) L ' M Ya

Sh| 'e ) ='$ 0 ]nf n b k £ ) ;>, i= h -, n,

- funksiyalar informantlar dep ataladı.

1-lem m a. A er (I)-(Iv ) shártler atqarılsa, ol halda

M0 I{Z£) = 0, v 0 6 0. (1)

Tastıyıqı.j/ ( jc, 0 ) / i ( A ) = 1 teńlikti ^ boyıch a differensiallaym ız:

- ^ j f ( x, 9 ) M (d x ) = 0, v6'=®

yamasa

\ j^ f (x, e) n { d x ) = \1{x, v) rv (dx) = m v1 (4, e) = 0, v 0 6 ©

bul bolsa 1-lemmani tastıyıqlaydı.

I x (n) ( v ) = Mv \_1„{xm,

inform atsiya funksiyası boMsin.

2-lem m a. {/p{x ^ " \ v), ve ©} ushın (I) — (v ) shártler orınlansın.

Ol halda

1 xM ( ye ) = p 1 { ye), v ye v. (2)

Tastıyıqı. Induksiya metodı menen ańsatǵana ornatıladı. Sonday eken,

informatsiya funksiyası additivlik ózgesheligine iye eken.

3-lem m a. A er (I)-(v ) shártler atqarılsa, ol halda v 0 e 0

m « ( sh sh / (* ;0}) = - m < > (^ 1 p/ (4;0) } (3) Tastıyıqı. M v

( d2. d o 2

ın № \ v) ańlatpanı tómendegi kóriniste yozish múmkin:

d2

M0 5 Jnn m = s e e :---------- > t v i s k ) =

\

d2

= i ^ f ^ ^ M d x ) ~ M e i2 ( 4 ; e i.

(Iv ) qasiyetke kóre

± T l f ( x, 9 ) M (dx) = j - ^ r f ( x, e ) M (dx) = 0, v 9 e ®.

Bul bolsa 3-lem m ani tastıyıqlaydı.

t (xM):(&M, 0 G<" \{Rv, v ye G})-> ($r,

- statistikanıń inform atsiya funksiyası IT ( 9 ) boMsin. Tastıyıqsız quyidagi zárúrli dawanı keltiram ız.

4-lem m a. {Pg, 9 e. 0 } hám {Qg, 9 e 0 } bóliw atlar qaǵıydası ushın

(I)-(v ) regulyarlik shártleri orınlansın. Ol halda

Tt (9 ) < 1 x1 ya) ( 9 ) ol v ye &. (4)

Bul jerde teńlik tek hám tek T - jetkilikli statistika bolǵanıdagina

eriwiladi.

Sonday eken, T - variatsion qatar b o 'lsa, (4 ) de teńlik atqarılar eken.

Bul bolsa kuzatm ruwxıy azap i tártiplew nátiyjesinde inform atsiyaning kem aym asligin i ańlatadı (sebebi bul halda T hám X ln) ekvivalent trivial jetkilikli

statistikalar bolıp tabıladı).

Q úyindegi teoremada jıljım agan bahalar dispersiyasi ushın tómen

shegara m avjudligi kórsetilgen.

1-teorem a (Kram er-Rao). {f n{x (n), 9 ), 9 e &} shańaraq ushın (I )-

(v ) shártler orınlansın hám differensiallanuvchi g (9 ) funksiyaǵa jıljım agan g n ( x tn>) bahası ushın v 0 e © larda